Beauty of Surfaces 곡면의 아름다움

(이 글은 1999년도 수학사랑 마지막 호에 실렸던 것입니다. 수학사랑에는 이 글을 조금 줄여 편집된 내용으로 실렸습니다.) 19991015 수학을 공부하는 사람들은 수학을 좋아한다. 수학을 이해하는 사람들에게 수학은 무한한 매력을 가지고 있다. 이러한 수학을 공부할 수 있다는 것은 대단한 행복이다. 그런데 우리 나라에서 수학을 공부하는 사람들은 그리 행복한 것 같지 않다. 열악한 환경에서 힘든 공부를 마치고 보면, 자신이 공부한 것을 쓸 곳을 찾기 힘들고, 운이 좋은 경우에도 주위의 무지와 잘못된 정책과 엎치락뒤치락하다 보면, 내가 무엇을 잘못하고 있는 것인가 라고 생각할 때가 자주 있다. 선진국의 훌륭한 예를 많이 보면서, 또 우리와 비슷한 사고방식을 가지고 있거나 우리와 비슷한 상황에 있는 나라들도..

이 책은 포항공과대학교의 김강태 교수가 여러 해 동안 미국과 한국의 대학원에서 강의하며 다듬은 미분기하학에 대한 교재이다. 재미있는 사실은 대학원 미분기하학의 교재라고 하면 마땅한 것이 많지 않다는 것이다. 미분기하학의 주된 흐름을 따라 대학원 수준의 이론을 망라한 책은 여럿이 있다. 이 중에 몇을 예로 들면 Helgason, Bishop and Crittenden, Kobayashi and Nomizu, Hicks 가 있고, 특히 리만기하학에 관련하여는 Klingenberg, Cheeger and Ebin, Jost, Chavel, do Carmo 등을 들 수 있으며, 근래의 거리미분기하학 분야에 Gromov의 책을 비롯하여 몇 권이 나오고 있다. 이 가운데 대학원에서 미분기하학 강의를 시작할 때 어떤..

이 소개는 Hitel 수학 동호회의 수학서적/세미나/정보안내 난에 실은 것이다. 아마도 이 책은 저 밑의 12번 김대현님의 list에 들어가 있어야 함직한 책이다. 그럼에도 안들어가 있는 것은 그 list를 만든 사람이 저자 가운데 하나이기 때문이었으리라는 추측과 그 list가 이 책이 출간되기 이전에 만들어진 것이라는 이유를 떠올리게 한다. 물론 이 책은 기하학 서적이라고 할 수는 없다. 그러나 기하학을 공부하려면 생각해 보았으면 하는 것들이 이 책에는 많이 있다. 제목은 "힐베르트 문제를 중심으로 - 현대수학입문" (김명환, 김홍종 지음, 경문사) 이 책이 출판된지 이미 1년 가까이 되고 이미 잘 알려져 있을지도 모른다고 생각한다. 특히 서울대학교 교양 과목의 교재로 쓰여진 노트들을 모은 것이고 현재..

Leibniz의 Variational Principle Juergen Jost의 강의록 Harmonic maps between Riemannian Manifolds의 첫 section에 있는 글을 옮깁니다. ---- A Short History of Variational Principles Among the first persons to realize the importance of variational problems and the physical significance of their solutions was G. W. Leibniz (1646-1716). In his work, however, mathematical and physical reasoning was closely interwoven ..

산학원본 개요 算學原本은 양휘산법과 算學啓蒙의 계산법을 풀어 설명한 책이다. 조선시대에 朴繘박율이 편찬하였으며 그의 아들 朴斗世가 간행(1700)하였다. 17세기 算書. 朴繘(1621~?):본관 蔚山, 자 子明, 호 梧里. 은산 현감, 장령 朴斗世 (1650~1733): 牧使, 中樞府知事. 要路院夜話記요로원야화기 崔錫鼎 (1646~1715): 序文. 최명길(崔鳴吉)의 손자, 이조참판, 한성부판윤, 이조판서. 산서 九數略 저술. 최석정의 서문의 의미 최석정이 산학원본의 서문을 쓴 것은 지금 우리가 보기에는 큰 의미를 지닌다고 할 수 있다. 박두세가 최석정에게 서문을 부탁한 것은 잘 아는 높은 사람에게 서문을 부탁한 것이라고 할 수도 있겠으나 그 서문을 쓴 최석정은 서문을 쓸 만큼 수학에 대하여 해박한 사람..

텐서란 앞에서 말했던 것 처럼 이미 가지고 있는 개념을 수치적으로 표현할 때 꼭 겪는 복잡함을 이해하고 이에 대하여 말하는 방법입니다. 수학에서는 단계적으로 다음과 같이 풀어져 있습니다. 그 이야기 전에 우선 다변수 미적분학(적어도 2변수)과 선형대수(적어도 행렬과 행렬식)의 이야기를 들어보았어야 합니다.(사실 들어보는 정도로는 안됩니다.) 리만기하학을 배우려는 분이면 당연히 아시겠지요.(적어도 안다고 생각하시겠지요.) 우선 대수적인 텐서는 벡터공간 V 하나안에서의 이야기입니다. 이 때 텐서는 V 위에서의 벡터들의 곱의 일종을 말합니다. 이 곱은 보통 알고 있는 곱들을 포함하는, 더 일반화된 개념으로서 우리가 보통 곱셈이 갖고있다고 생각하는 최소한의 조건만을 가지는, 가장 일반화된 곱셈입니다. (이에 대..

하이텔의 글입니다. -------------------------------- 같이 풀어 봅시다 란에 텐서에 대한 이야기가 나왔다. 텐서? 텐서가 무엇이길래 (나를 포함해서) 이토록 많은 사람들에게 고통을 주는 것인가?......??? 여러분이 말하는 텐서는 내가 보는 바로는 허깨비일 뿐이다. 라고 한다면 무슨 헛소리인가 하겠지만, 글쎄, 그럴듯 하다고 할수도 있겠다. 텐서를 한마디에 또는 한번 이야기에 설명하는 것은 불가능하다. 무엇보다도 그 많은 복잡한 공식과 계산들은 당연히 책을 보고 배워서 외워야 할것이다. 문제는 텐서를 보면서 무슨 생각을 하여야 하는가이다. 이를 잘 이해하려면 정말 쉬운 경우를 예로 들지 않으면 안된다. 그러나 설명을 해 보기 전에, 여러분은 물론 선형대수를 공부했기에 텐서를 ..

Q: 저의 궁금증은 수학에서의 확률과는 거리가 있다고 생각합니다. 주사위를 던질때 나올수 있는경우 그 많은 결과를 어떻게 구하는가, 수학에서는 이상적인 주사위를 생각하여 주사위를 던질때 나올수 있는 결과는 단 6가지 로 만든다. 현실에서는 아주 많다. 그리고, 왜 주사위가 모서리쪽으로 꼿힐 경우는 왜 드문가 왜. 주사위를 던질때 왜 각각의 눈이 나올비율은 왜1/6에 가까이 가는가. 로 정리할수 있을 것 같습니다. 한번더 정리하면.. 확률의 2가지 정의는 이러하다. 첫째, 특정 사건후 결과 특정 결과가 일어날거라고 기대할정도는 특정사건후 일어날수 있는 모든 경우의 수를 분모에 특정 결과가 일어날수 있는 방법은 분자에 써 구한다. 둘, 어떤 행위를 반복하면 동전을 던진다는지... 아주 많이 반복하면 일정한 ..

Hitel에 썼던 글입니다. ----------------------------- 함수라는 개념은 간단히 영역의 원소들에게 치역의 원소들을 대응시켜 주는 관계(규칙)이다. 이 관계는 어떤 때는 한마디 말로도 표현될수 있으며, 또 다른때는 일일이 대응관계를 나타내 주기 전에는 다른 방법을 찾기 어려울 때도 있다. 일반적으로 이 관계를 다음으로 나타낸다. y = f(x) 이때 f(x) 는 3x+2 처럼 한마디로 써지기도 하지만 어떤때는 위에 이야기 한것처럼 몇마디로는 쓸수 없다. 그런데, 이런 함수관계는 어떤때는 수식(방정식)이라는 조건으로 정의되기도 한다. 즉 3x + 2y = 5 ------------ (1) 같은 식은 독립변수 x, y 로 이루어진 3x + 2y = f(x,y) 라는 이변수함수가 있을 ..

수학사랑의 질문과 답변 아래 김종욱님이 설명하신 글에 조금만 덛붙입니다. 산술평균을 조금 들여다보면 이런 생각을 한 것 같다고 할 것입니다: 즉, 두 수 x, y를 더해서 x+y 를 구했는데 이것이 두 수 x, y를 사용한 것이 아니라 어떤 한 수 z를 두 번 사용한 것이라면 (다시 말하면 z+z 였다면) 이 z는 어떤 수일까 하는 질문의 답이 산술평균입니다. (이와는 전혀 다른 방법으로 설명하는 수도 있을지 모릅니다.) 1. 이제 덛셈이 아니라 곱셈에 대하여 같은 방법으로 생각하여 보면 기하평균이 나온다는 것을 알겁니다. 혹시 세 수에 대한 덛셈은 x+y+z=u+u+u인 u를 생각하면 세 수의 평균이 나오지요... 세 수에 대한 곱셈을 생각하면 xyz=u^3 에서 u=(xyz)^(1/3) 입니다. 2...