조건희 군이 메일로 보내느라 앞 뒤에 인사가 있는 것은 빼고 본문만 옮겨 놓습니다.



개인적으로 근래에 sub-riemannian geometry에서 미분기하의 문제들을 확률론으로 접근하는 게 명확히 보여서 참 매력적이라고 생각하고 보고 하나하나 관련된 도구들을 본격적으로 공부해나가기 시작한 단계입니다.
제 개인적으로는 확률론의 도구들이 기하학적인 대상들을 이해하는 요긴한 도구임을 알려주는 페이퍼 중 하나는 Atiyah-Singer theorem을 확률론으로 증명한 게 아닌가 싶습니다. [1]

제가 현재 이해하는 선에서는 sub-riemannian geometry는 미분다양체의 탄젠트-번들의 부분-번들(sub-bundle)에 대한 정보만 들고있는 경우, 부분-번들에 bracket-generating condition 등의 (Lie-bracket으로 tangent bundle을 복구할 수 있는 sub-bundle) 추가적인 적절한 조건들을 요구해서 미분다양체를 어떻게 이해할지에 대한 거라고 납득하고 있습니다. Contact manifold, symplectic manifold에서 자연스럽게 위의 sub-riemannian geometry에 해당하는 상황들이 있는것 같습니다. [3]
그리고 sub-riemmanian manifold에 대해서도 submersion, 혹은 foliation이 있는 경우로 한정지으면 fiber가 totally geodesic submanifold가 되는 동치조건을 부분-번들에 주어진 sub-laplacian으로부터 완전히 기술할 수 있음이 알려져 있습니다. (Theorem 2.9 [3]) 그래서 sub-laplacian를 다루기 위한 각 diffusion operator에 대한 이해를 필요로 하게 되고, diffusion operator와 관련지어서semi-group이나 heat kernel 등을 이해해나가는 과정에서 여러 stochastic process들과 연결고리가 생기는 것 같습니다. 

특히 Heisenberg group에 대해 sub-riemannian manifold의 구체적인 예시로서 유용한 것 같습니다. [2], [3] Hisenberg group은 upper half plane의 고차원 일반화인 Siegel half plane을 complex manifold로서 볼 때 이에 대한 boundary에 해당하는 CR manifold입니다. [4] 그리고 하이젠베르그 군의 fractional sub-laplacian은 levy process의 infinitesimal generator가 되는 점과, Brownian motion이 Heisenberg group 위에서 어떻게 기술되는지도 구체적으로 확인할 수 있습니다. [5], [6]

그 외에 symmetric space의 위상적인 정보를 증명하기 위한 도구로도 확률론이 쓰이는 경우를 보았습니다. symmetric space의  brownion motion으로부터 기술되는 특정 stochastic process가 어떤 분포로 수렴하는지에 따라 compact와 non-compact를 구분할 수 있을 것이다는 명제를 뒷받침하는 예시까지 현재 알려져 있고 일반적인 명제에 대해서는 open problem으로 남아있는 것 같습니다. [7]

제 개인적으로는 기하학 공부를 위해서 확률론이 정말 중요한 도구가 아닌가 하는 생각을 지울 수가 없어서 새로운 한 해에 참 열심히 공부해보고 제가 있는 곳에서 sub-riemanian geometry 공부하시는 교수님들 곁에서 좋은 기회를 잡아서 한번 문제들도 해봐야겠다고 생각해보고 있습니다. 


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  • 그로몹 2017.12.30 13:53 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    sub-riemannian geometry는 1997년에 몇 사람이 같이 공부하면서 21세기의 기하학이 될거라고 했던 것이지만 공부해보려는 사람은 없었던 듯하고, stochastic process도 1990년대에 potential theory와 관련된 연구들이 나오면서 회자됐지만 당시 결론은 확률론으로 해석학에서 하지 못하는 새로운 것을 하기는 어려울 것이라는 평가였는데, 조건희 군의 말을 들으니 이제는 두 군데서 뭔가 본질적인 이야기가 가능한지도 모르겠다는 생각이 든다.

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