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이미 2년이 다 되어가는 2010년 1월 7, 8일에 고등과학원(KIAS)에서는 학부 학생에게 수학(특히 기하학)을 소개하는 강의를 열었다. 지금 우리나라에서 가장 잘 나가는 4명의 기하학자가 바쁜 연구 와중에서도 학부생들에게 수학 공부의 원동력이 되는 좋은 이야기를 해 준 것이다. 고등과학원 교수로 계시는 최재경, 황준묵 교수와 미국 위스컨신대의 오용근 교수 그리고 서울대의 박종일 교수가 그 4명이고 각자 학부 수학 수준에서 자신이 공부하는 기하학을 소개했다.

이 강의가 있을 때 나도 참석해야지 하는 생각이 많았지만 다른 일이 있어서 부득이 참석하지 못했다. 무슨 일이 있었는지는 잊었지만 참석하지 못해서 아쉬웠던 기억은 확실히 남아 있다. 그런데 고등과학원의 여러 세미나와 강의, 강연들은 녹화가 되어서 과학원의 수학과 서버에서 볼 수 있다. (이런 서비스가 생긴 것은 꽤 오래 되었고 초창기에는 녹화되는 강연이 많지 않았지만 요즈음은 장비가 발달되어 많은 강연들이 거기에 올라오고 있다.) 이 강의들도 녹화가 되어 그곳에서 볼 수 있게 되어있었다. 바쁘기도 하고 해서 거기 무엇이 있는지 별로 눈여겨 보지 못하고 있었는데 며칠 전 시간이 나서 들어가보니 내가 참석하지 못했던 강의들이 올라와 있었다. 그래서 그 강의들을 조금 들어보았다. 실제로 황준묵 교수의 강의는 제대로 들었고 최재경교수와 박종일 교수의 강의는 재빨리 훑어보았으며, 오용근 교수의 강의는 아직 시작하지 못했다. 아마도 오용근 교수의 강의가 가장 재미있을지 모르지만 또 가장 어려울 수 있을거 같아서 잠시 미루어둔 것이다.

최재경교수님(강연자중 나보다 나이 많은 유일한 분이라 '님'자를 붙였음)의 강의는 나와 비슷한 분야여서 여러번 들었고 대충 예상되는 강의였다. 최재경 교수님의 강의는 항상 새로운 내용이 있어서 들을 때마다 배우는 것이 많은 강의인데 이것은 기초적인 이야기여서 그만은 못하다. 제일 놀라웠던 강의는 초창기에 대한수학회의 기하학분과 초청강연으로 충남대에서인가 별로 많지 않은 청중을 대상으로 했던 최대값원리에 대한 것인데 감명 깊게 들었지만 이에 대한 배경지식이 일천할 때여서 잘 알아듣지 못했었다. 나중에 좀 더 자세히 강연해 주기를 부탁드려본 적도 있지만 최교수님은 강연하고 싶은 새로운 내용이 넘쳐나시는 분이라 똑같은 내용은 다시 잘 안하는 것 같고 나는 아직도 일부분 밖에는 잘 모르는채로이다. 언제 시간이 되면 집중강의로 다시 부탁하는 것이 어떨지 모르겠다.

박종일 교수의 강의는 다양체에 대한 기초적인 내용에서 자신의 연구영역인 다양체의 구조와 관련된 근래의 연구 성과들을 소개했는데 잘 이해되지 않는 분야여서 역시 잘 못알아들을 것 같았고, 그래서 건성 넘어갔다.

재미있는 것은 황준묵 교수의 강의인데 대수기하학자인데 시작은 미적분학으로 하여 재미있는 내용을 전개해서 보여주었다. 들려준 이야기는 사실 100년이 넘은 시절에 수학자들의 연구 내용인데 이것이 지난 100년동안에 대수기하학에서 일어난 일의 배경이 되는 것이라 중요한 내용이라 생각된다. 멀리서 이름만 듣던 내용을 어렵지 않게 설명해주니 예전에 특히 19세기에 사람들이 무슨 생각을 하고 있었는지가 눈에 보이는 것같다. 실제로 이의 초창기 역사를 Siegel의 Complex Function Theory라는 3권짜리 책의 시작부분에서 읽은 적이 있어서 다시 꺼내보았다. 재미있게 2시간동안 들은 내용이 가만보니 Siegel의 책 3권 전부를 요약한 내용이었다는 것을 알게 되었고 사실 타원함수론에서 시작해서 현대 대수기하학의 입문까지를 아우르는 이야기였으니 대단한 강의라는 생각이 새삼 든다.

이 내용이 전공이니까 (그의 전공은 복소대수기하학) 뭐 이런거 잘 아는 것은 이상한 것이 아니지만 그래도 특별히 강의할 일이 없었다면 Siegel의 고전적인 책 3권을 다 읽어보는 일은 안할 듯 해서 나라면 어디를 보고 이런 역사적인 전개를 알 수 있을까를 생각해 보았다. 전공이 대수기하는 아니어서 대수기하 책도 많지 않은데다, 복소기하는 나도 반쯤 전공해 보았지만 보통 현대복소기하 책은 이런 내용을 잘 안다루니까 생각이 안 미치다가, 예전에 샤파레비치의 대수기하 책에 저자가 '자신이 학생때는 아벨적분 이론은 대학원에서 꼭 배우는 것인데 요즘은 안그렇다'는 말을 본 기억이 있어서 샤파레비치를 열어보았다. 책의 내용에는 이런 것이 따로 없었지만 2권 맨 마지막 부록에 이의 역사에 대한 해설이 있었고 이 해설이 꼭 이번 강의만큼이란 것을 알았다. 황준묵 교수가 이 책에서 강의 내용을 구성했는지는 알 수 없지만 그랬다고 하더라도 이 책의 한 chapter에 해당하는 내용을 간단히 2시간에 알기쉽게 설명해 주는 것은 이 분야의 진정한 고수만이 할 수 있는 것이라는데는 이견이 없다.

나는 이렇게 설명해줄 수 있는 멋진 수학 내용이 있는가 보면 글쎄 별로 없는 것같다. 부끄러운 일이 아닐 수 없다. 역시 공부를 열심히 해야 뭔가 쓸모있는 것을 할 수 있다는 것을 새삼 생각케 한다. 그러나 오일러가 얻은 적분공식과 이를 일반화한 아벨적분, 그리고 여기서 기하학을 만들어낸 리만의 함수론과 리만면의 이론은 정말 놀랍고도 재미있는 수학의 한 분야이면서 오늘날의 모든 현대수학을 잉태한 이론이란 점에서 다른 어떤 이론보다도 흥미진진한 것이 아닐 수 없다. 이런 것이 재미있는 사람은 '친구가 없다'는 정리아닌 정리가 있으니 그렇기는 하지만 사실 너무 재미있는 이야기여서 수학책이라기보다는 수학 이야기책으로 구성해도 정말 재미있겠다는 생각이 든다. (이것을 재미있어할 사람이 그리 많지는 않을 것이라고 생각은 되지만) 언제 시간내서 공부를 해서 황준묵 교수의 강의를 책으로 엮어볼까 하는 생각도 든다. 물론 황준묵 교수 본인이 직접 쓰는 것이 가장 좋은 책이 되겠지만 지금은 그럴 틈은 없는 바쁜 와중일터이니 나라도 하는 생각을 하는 것이다.

황준묵 교수의 강의 내용은 언제 다시 간단히 정리해 두기로 하자. 그때는 수식도 쓰면서...

3차원 공간의 곡면을 공부하여 보면 많은 아름다운 성질들이 보인다. 이 성질들 가운데 또 많은 부분은 바로 눈에 드러나 보이는 것이라서 문외한이라도 쉽게 이해할 수 있는 것들이다.

(곡면이) 아름답다는 것은 규칙과 관련된 문제이다. 우리가 눈으로 보고 감지해낼 수 있는 규칙들은, 꼭 그 규칙을 말로 바꿀 수 있는 것이 아니어도, 그 규칙을 가지는 대상을 분류해 내고 공통성을 느낄 수 있으며 아름답다는 말로 대신하는 것 같다. 곡면 가운데 아름다움을 주는 규칙 가운데 하나는 그 곡면의 넓이와 상관이 있다. 곡면을 가만히 놓고 그 곡면의 일부분을 조금 바꾸어 보았을 때 넓이가 더이상 줄어들 수 없는 곡면을 극소곡면(minimal surface)라고 부른다. 극소곡면의 이론은 18세기에 미분기하학이 시작되면서 같이 발전한 이론이다.

이러한 곡면 가운데 (평면을 제외하고) 가장 단순한 곡면이라면 현수면이라고 불리는 것이다. 극소곡면중에서 가장 먼저 발견된 것이고 그 모양이 곡선을 회전시켜서 만든 회전면이라는 특징을 가지고 있다. 이 곡면의 모선(母線,generator)을 이루는 곡선은 현수선이라고 하여, 줄넘기 줄처럼 밧줄의 양쪽 끝을 두 사람이 잡고 늘어뜨리면 그 밧줄이 이루는 모양의 곡선이다. 이 곡면의 모양은 다음과 같다.

극소곡면은 철사줄에 매달린 비누막으로 잘 나타난다. 비누막은 표면장력때문에 극소곡면의 형태를 띄게 된다. 실제로 실험해서 보여주는 다음과 같은 사진이 있다.


이 사진의 두 파란 링을 조금 더 벌리면 비누막은 가운데가 조금 더 가늘어지면서 위의 그림과 비슷한 모양이 된다.

이 책은 포항공과대학교의 김강태 교수가 여러 해 동안 미국과 한국의 대학원에서 강의하며 다듬은 미분기하학에 대한 교재이다.
재미있는 사실은 대학원 미분기하학의 교재라고 하면 마땅한 것이 많지 않다는 것이다. 미분기하학의 주된 흐름을 따라 대학원 수준의 이론을 망라한 책은 여럿이 있다. 이 중에 몇을 예로 들면

 Helgason, Bishop and Crittenden, Kobayashi and Nomizu, Hicks

가 있고, 특히 리만기하학에 관련하여는

 Klingenberg, Cheeger and Ebin, Jost, Chavel, do Carmo

등을 들 수 있으며, 근래의 거리미분기하학 분야에 Gromov의 책을 비롯하여 몇 권이 나오고 있다. 이 가운데 대학원에서 미분기하학 강의를 시작할 때 어떤 책을 교재로 쓸까를 생각하면 위의 어느 책도 선뜻 집히지 않는다. 그 이유에는 내용이 너무 방대하고, 내용의 구성이나 기술 방법이 우리에게 너무 어색해 보이기도 하며, 너무 어려운 책이기 때문이기도 하다.

미분다양체 만의 이론이라면 아직도 Boothby나 Frank Warner의 책을 꼽을 것이다. 그러나 미분기하학의 고급 응용을 생각하는 입문에서는 다른 내용이 필요하며 이에 알맞는 미분기하학 교과서는 찾기가 쉽지 않다. 리만기하학이라면 아마 do Carmo의 "리만기하학"을 선택할 것이지만 이 것도 내용이 꼭 좋아서라기 보다는 1 - 2 학기 강의에 적합한 양과 초심자가 따라갈 수 있을 정도의 설명에 기인한다고 하겠다. 미분기하학에서는 아마도 Hicks를 선택할 것 같다. 그러나 내용이 매우 요약되어 있다는 점이 조금 불만스럽다.

이러한 점에 비추어 볼 때, 김강태 교수의 "미분기하학"(교우사)은 드물게도 이러한 필요에 부응하는 교재이다. 실제로 영어권에서도 이러한 책을 찾기는 힘들다. 내용을 살펴보자.

제 1 장 곡면 기하학 재조명

여기서는 오일러, 가우스 등에 따라 성립된 고전기하학의 이론을 역사적으로 설명하며 그 핵심 개념을 현대적 입장에서 요약하여 놓고 있다.

제 2 장 리만 공변 미분 연산자와 평행이동 개념

리만 계량, 표준좌표계와 공변미분, 접속, 평행이동, 곧은선(geodesic), 호프-리노브의 정리등

제 3 장 리만 곡률 텐서

곡률의 정의, 제 2 변분공식, 야코비 벡터장, 켤레점, 한계점, 초점 등의 개념

제 4 장 리만 다양체의 비교정리

지표 형식, 라우치, 카르탕-아다마르, 라플라스 연산자 비교정리, 부피 비교정리, 토포노고프 정리 등

부록 A 미분다양체, 벡터장 및 미분 형식
부록 B 상미분방정식에 관한 피카드 정리
부록 C 벡터다발과 접속

이 책의 특징은 고전의 역사적 기하학과 현대의 리만기하학의 관점을 통일하여 보여주려는 시도가 그 하나이며(1장), 기하학의 많은 결과들을 나열하기 보다는 중요한 개념 몇개 만을 따라서 현대 미분기하학의 요체를 보여주고 있다는 것이다. 이러한 점은 저자의 다음과 같은 서문에 잘 나타나 있다.

" ... 이 책을 읽으면 미분기하학은 어느 정도 이해하였고, 심지어는 연구자가 될만한 지식을 얻었다고 할 수 있을 것인가 하는 질문을 많이 받았습니다. 답은 그렇지 않다는 것입니다. ... (중략) ... 그러나, 이 책은 지금 우리가 구할 수 있는 다른 미분 기하학 책을 읽는 데에는 중요한 도움이 될 책이 되도록 구성하려는 목표를 가지고 썼습니다. ..."

저자는 서문에서 Klingenberg의 책을 읽기 위한 준비로서 이책을 읽는 것에 대하여 언급하고 있지만, 실제로 Cheeger and Ebin의 책을 읽기 위하여 그 책의 첫째 장을 읽어본 사람이라면 이러한 책이 있는 것에 감사하게 될 것이다. 다시 말하면 현대 미분기하학 연구의 입문을 위한 가장 훌륭한 입문서라고 생각된다.

물론 이 책은 한글로 쓰여져 있다. 이 또한 입문서로써의 훌륭한 점이다. 처음 보는 이론을 자신의 언어(mother tongue)가 아닌 언어로 읽는 어려움은 자신의 언어로 쓰여진 책을 읽어보면 확연히 드러난다.

이 책이 있음으로 해서 어려워서 미분기하학에 접근하지 못했던 많은 사람들이 도움을 받게 될 것이라고 생각한다. 물론 대학원의 미분기하학을 공부하려면 학부 미분기하학을 잘 알고 있어야 한다고 생각할 것이고 이 말이 틀리는 것은 아니다. 그러나 이러한 입문서라면 학부 미분기하학과 관계 없이 대학원 수준의 미분기하학 공부를 시작할 수도 있을 것이다. (실제로 본인은 이렇게 공부를 시작한 경우에 해당한다.)

텐서란 앞에서 말했던 것 처럼 이미 가지고 있는 개념을 수치적으로 표현할 때 꼭 겪는 복잡함을 이해하고 이에 대하여 말하는 방법입니다. 수학에서는 단계적으로 다음과 같이 풀어져 있습니다.
그 이야기 전에 우선 다변수 미적분학(적어도 2변수)과 선형대수(적어도 행렬과 행렬식)의 이야기를 들어보았어야 합니다.(사실 들어보는 정도로는 안됩니다.) 리만기하학을 배우려는 분이면 당연히 아시겠지요.(적어도 안다고 생각하시겠지요.)

우선 대수적인 텐서는 벡터공간 V 하나안에서의 이야기입니다. 이 때 텐서는 V 위에서의 벡터들의 곱의 일종을 말합니다. 이 곱은 보통 알고 있는 곱들을 포함하는, 더 일반화된 개념으로서 우리가 보통 곱셈이 갖고있다고 생각하는 최소한의 조건만을 가지는, 가장 일반화된 곱셈입니다. (이에 대한 정의는 대수학등의 책을 보시기 바랍니다.) 따라서 우리가 생각하는 모든 곱셈들은 이 곱셈의 하나가 됩니다. 우리가 이미 잘 쓰고 있는 예를 하나만 들죠.(잘 아는 것은 사실 이것 하나 밖에 없습니다.)

V = R^2 에 좌표 x, y를 주고 보면 V^*(dual space)는 x, y로 생성되지요. 이 때, V 위에서 정의된 다항식들은 x와 y의 곱들로 나타내어집니다. 이 들은 다음과 같이 나누어 생각할 수 있습니다.

x, y의 0차식, x, y의 1차식, x, y의 2차식, ......

이 각각은 x 와 y를 각각 0번, 1번, 2번, ... 씩 곱해서 얻어지는 것들의 일차결합을 모두 모은 것입니다.

이들이 V^*의 모든 텐서곱을 다 나타내지는 못합니다. 다항식들은 특별한 조건

xy = yx, x y^2 = yxy = y^2 x, ...

을 만족하고 있으므로 가장 일반적인 곱셈이라고 할 수는 없습니다. 다항식은 소위 대칭인 곱셈(symmetric tensor product)을 모두 만드는 것 같군요.(사실인지 한번 생각해봐야겠군요^^)

일반적인 곱셈을 @ 로 나타내기로 하면,

x @ y \not= y @ x

일 뿐만 아니라 양변이 서로 아무 관계도 없어야 합니다. 즉

x @ y = - y @ x

같은 조건도 없다는 것이지요. 이러한 일반적인 곱셈을 통해서 곱하고 일차 결합을 만들고 하는데, 단 하나, 텐서 곱셈이 되려면 다음 성질 둘(셋?)은 만족해야 하지요 (결국 대수학 책을 쓰는군^^)

(x + y) @ z = x @ z + y @ z,
x @ (y + z) = x @ y + x @ z,
x @ (ty) = t (x @ y) = (tx) @ y (t는 스칼라 체의 원소)

그러한 곱셈을 만들어 쓰는데 익숙해지면, 해석(기하)학으로 들어가게 되는데요, 앞의 글 `텐서(1)'에서 이야기한 것입니다. 즉

(1) 한 점 p에서의 방향벡터 전부를 V_p라 할 때 V_p의 텐서곱들을 p를 변화시키면서 함수로 보는 것,

(2) 이 것들이 p에 대하여 연속함수, 미분가능한 함수라는 개념들을 정의하고,

(3) 이 개념들이 서로 smooth한 관계인 두 좌표(예를 들면, 원점 밖에서 직교좌표와 극좌표)에서 볼 때 마찬가지 개념이라는 것: 직교좌표로 써서 미분가능한 텐서는 극좌표로 써도 미분가능하고, vice versa.

(4) 이러한 두 좌표계 사이에서 같은 텐서를 표현하는 방법은 항상 두 좌표계를 변환하는 변환식의 Jacobian matrix로 변환된다는 것.

등을 확인하고 스스로 항상 계산해낼 수 있게 되면 1차적으로 텐서 개념에대한 대부분의 이해가 되었다고 할 수 있죠.

이 것을 써서 리만기하학을 하게 되면, 기하학에서 어떤 텐서가 중요한 것인가 하는 문제의 답을 구하고, 이들 사이에 어떤 관계가 있으며 - 어떤 것을 미분하여 어떤 것을 얻고, 어떤 것을 적분하여 어떤 것을 얻는가, 어떤 놈을 어떤 놈과 내적하면 어떤 놈이 얻어지는가 등등... 소위 텐서들의 공식 - 이 각 텐서들의 기하학적 의미는 무엇인가 하는 문제에 답을 찾는 것이 리만기하학을 공부하는 목표라고 할 수 있습니다. 기하학에서는 대부분의 중요한 텐서적 개념을 곡률이라고 부르려는 경향이 있습니다.(물리학도 마찬가지인데, 텐서 가운데 질량, 스트레스 텐서, 운동량, 등등 모든 개념이 있습니다) 그 과정에서 Gauss-Bonnet의 정리와 같은 위상수학에 걸친 이야기를 할 수도 있지요. (즉 오일러지표라고 하는 숫자는 어떠한 텐서의 적분으로 나타낼 수 있다는 등등...)

지금 드린 이야기는 단지 뜬구름 잡는 이야기일 뿐이지만 이를 가이드 삼아서 초보 텐서론부터 차근차근 공부하시면 쉽게 이해할 수 있을 것입니다.(믿거나 말거나?) 하지만 혼자서 끙끙대기보다는 잘하는 분들께 물어보기 바랍니다. 누구나 열심히 가르쳐 주겠지만, 그리고 모든 설명이 다 정말 도움이 되지만, 진짜 잘하는 분들의 설명이 필수적입니다.

책을 한 두개 소개하면,

M. Spivak의 Calculus on Manifolds : 이 책을 통해서 텐서를 이해하면 쉬울 것입니다. 하지만 문제를 거의 다 풀어봐야만 합니다.

Sokolnikoff의 Tensor Analysis(제목도 가물가물) : 혹시 위의 현대적 표기법이 마음에 안든다면 이러한 고전적 표기법과 물리학적 이야기도 괜찮을 겁니다. 위의 책보다 훨 길어요. 고전적 물리학 책(20세기 초반의 어려운 물리학책들: 예를 들어 Eddington의 Relativity Theory(?) 같은 책) 모두 다 텐서를 열심히 설명하고 있어요.

김강태의 미분기하학 : 기하학란과 책 소개란에 소개했지만, 미분기하학(리만기하학)의 입문서로 아주 좋은 책입니다. 단지 이 책만 읽고 리만기하학 다 안다고 하면 (라마뉴잔 같이 쬐끔만 보고도 모든 것을 다 꿰뚫을 사람이 없지는 않겠지만) 아마 안되겠지요. (저자가 그러면 안된다고 했으므로)

P. Petersen, Riemannian Geometry : 최근에 나온 기하학 책인데 쉽게 어려운 이야기 까지 잘 설명한 또하나의 책입니다. 방대한 이야기를 다 한 책. 분량은 400쪽 남짓.

하이텔의 글입니다.
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같이 풀어 봅시다 란에 텐서에 대한 이야기가 나왔다.
텐서?

텐서가 무엇이길래 (나를 포함해서) 이토록 많은 사람들에게 고통을 주는 것인가?......???

여러분이 말하는 텐서는 내가 보는 바로는 허깨비일 뿐이다.

라고 한다면 무슨 헛소리인가 하겠지만, 글쎄, 그럴듯 하다고 할수도 있겠다. 텐서를 한마디에 또는 한번 이야기에 설명하는 것은 불가능하다. 무엇보다도 그 많은 복잡한 공식과 계산들은 당연히 책을 보고 배워서 외워야 할것이다. 문제는 텐서를 보면서 무슨 생각을 하여야 하는가이다. 이를 잘 이해하려면 정말 쉬운 경우를 예로 들지 않으면 안된다.
그러나 설명을 해 보기 전에, 여러분은 물론 선형대수를 공부했기에 텐서를 알려고 하고 있을 것이다. 그러나 여러분은 선형대수가 '뭐하는' 것인지를 알고 있는가? 글쎄요라는 대답이 나온다면 텐서를 이해할수 없는 것은 당연하다.

세상에서 가장 쉬운 예:

한 직선의 점들에다 또 다른 한 직선의 점들을 대응시키는 함수를 생각하자. 이것은 여러분이 국민학교에서 부터 지금까지 수학에서 거의 매일 다루고 있는 대상이며 사실 이것 밖에는 배운것이 없을 것이다. 이것을 보면 여러분은 우선 y = f(x) 하고 쓸것이다. 이것은 틀린것이 아니다. 그러나 여러분은 분명히 x 나 y 가 수(number 즉 실수)라고 생각할 것이다. 여기는 문제가 있다. 직선 위의 점들은 수가 아니다. 여러분이 수라고 생각한다면 그것은 직선위의 점들을 항상 수와 대응시켜서(수를 이름으로 써서) 불렀기 때문일 것이다.

직선위의 점들은 항상 정해진 이름(= 대응되는 수)이 있는가? 이런 생각을 해보면 금방 알수가 있다. 직선에 우리가 단위길이를 주고 눈금을 끊어나가기 전에는 '아니올시다' 이다. 이것도 직선 위에서 길이를 잴수 있을때라야 된다. 따라서 x, y 에 숫자를 넣어 생각하는 것은 우리 직선들에 수를 찍어서 소위 '수직선'을 만든 후의 이야기이다. 수직선을 만드는 방법은 여러가지가 있으니까 한가지 함수 y = f(x) 라도 수직선을 다르게 만들면 f(x) 의 공식은 달라지게 마련이다. 진짜 예를 들자.

y = x 라는 함수가 있었다. (이미 수직선이다) 그런데 어떤 사람이 x-축에서 단위길이를 원래길이의 두배로 잡았다. 즉 이전의 2 자리가 이제는 1 이 되고 말았다. 그랬더니 함수는 y = 2x 가 된다. 함수가 변했는가? (이 물음은 두 직선 사이의 대응 관계가 변했느냐는 뜻이다.) 물론 변하지 않았고 단지 x-축 위의 점들의 이름만이 바뀌었을 뿐이다.

이렇게 함수의 영역에 숫자로 이름을 주는 것을 '좌표'를 준다고 하고 '좌표계'가 주어졌다고 한다. 한 함수라도 x 나 y 의 좌표계가 바뀌면 숫자로 나타내는 식은 달라진다.

이 긴 이야기의 핵심은?

1. 우리는 숫자를 써서 나타내는 것만을 계산할수 있다는 것이다. 그러나 이것은 이름을 어떻게 주느냐에 따라 변한다.

2. 그러나 이렇게 숫자를 써서 말하고자 하는 것은 좌표를 바꿔도 변하지 않는 함수에 대한 이야기이다.

비극이 아닐수 없다. 그러나 딴 방법은 없다.

일차함수만 생각하자. (이것이 '선형대수'이다)
좌표를 정하고 f 라는 함수를 표시하니 f(x) = x 였다. 이 함수는 기울기 1 만 알면 되는 함수이다. 그런데 아까 처럼 좌표를 바꾸니까 기울기가 2 가 되고 말았다. 그럼 기울기가 무슨 소용인가? 좌표만 바꾸면 무슨 기울기도 다 나올텐데...(0 만 빼고)

따라서 우리가 말하고 싶은 '변화율'은 이렇게 이야기 한다. 이런 좌표에서는 기울기가 1 이다. 하지만 x-좌표를 (0 이 아닌) a 배로 늘리면 기울기는 a 배가 되고 y-좌표를 그렇게 하면 기울기는 1/a배가 된다.
여기서 몇배 하는 부분의 설명은 언제나 그렇다는 것을 알수 있을 것이다. "따라서 한번 이야기 하면 다시 할 필요가 없겠으므로 다 안다면 다시 이야기 하지 않는다"는 것이 선형대수의 밑(basis)의 변환에 대한 정리이다.

즉 선형변환(Linear Transformation = 변수도 벡더이고 값도 벡터인 일차함수) 은 좌표를 이러이러하게 잡을때 (즉 basis 를 이렇게 잡을 때)

Y = [A] X

로 표시 된다면 좌표(basis)를 이러이러하게(= [P], [Q]를 써서) 바꾸면 새 좌표에서는

Y = [Q][A][P 의 역행렬] X

꼴로 표시된다는 정리이다.(여기서 X, Y 는 벡터, [A]등은 행렬이다.)

[[중요!!!]]

따라서 행렬을 하나 보면 그 행렬을 곱해서 함수(선형변환)가 나온다는 생각 뿐이 아니라 이때 basis 를 바꾸면 그 행렬이 어떻게 변할지도 항상 생각하고 있어야(최소한 생각해 낼수 있어야) 한다. 그래야 그 함수를 진짜로 (어떤 경우에도 쓸수 있게) 알고 있는 것이다.

[[[끝말]]]

자 이제부터 간단히 '텐서는 뭔가?' 이야기 하자.

수학이나 물리학에서 나오는 많은 양(quantity)들은 위의 함수와 같은 존재이다 X(i) 들이 벡터일때 (f 는 일차인 경우만 생각하자, 아니면 '한 점에서' 미분을 해서 일차도함수인 전미분(differential = Jacobian)을 생각한다)

Y = f( X(1), ... , X(n) )

꼴이다. 이걸 좌표를 써서 나타내면 행렬 같지만 독립변수가 n 개의 벡터이므로 첨수(index)가 n+1 개나 필요하다. (선형대수에서는 독립변수가 한개, 첨수가 2개이다) 즉

               [A] = A
                      i,j,k,...

모양이 된다.

좌표도 일차식으로만 바뀌란 법이 없다. 그러나 한 점에서 벡터만을 다루므로 좌표 변환의 그점에서의 Jacobi 행렬만 쓰면 된다. 그러면 다음과 같다. f 가 좌표(x, y) 에 따라 [A], [B]등으로 나타날때,

                                                    
               dy   dy
                 p    q
       A    =  ---  ---  B
        i,j    dx   dx    p,q
                 i    j

꼴의 관계가 성립한다. (dy/dx 꼴은 좌표변환의 Jacobi 행렬) 첨자가 두개인 경우만 썼지만 여러개일때도 마찬가지다.

특히 물리학의 양들을 나타낼때 자연에서 주어지는 좌표란 것이 없으므로 인위적인 좌표(km, sec, gram,...)에 대해서 계산한다. 그러면 위의 f 는 [A]같이 나타나겠지만 그 숫자가 그리 중요하지 않다. (위에서 기울기가 별로 중요하지 않듯이...) 문제는 그 숫자가 여러가지 좌표계에서 어떻게 바뀌어 나타나는가 이다. 그리고 그 바뀌는 숫자들이 어떤 특성의 양(quantity)을 나타내는가 이다.

CARTAN