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이 글은 수학사랑에 올렸던 글을 옮긴 것입니다. 수학사랑에 한효관님이 쓴 글에 대한 답 형식으로 궁금님의 질문에 대답한 것입니다. 수학사랑에는 한지호라는 필명을 사용하고 있습니다.

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궁금 wrote;
> 모든 유리수는 순환소수로 나타낼 수 있다.
>
> 위의 명제는 0때문에 거짓으로 알고 있습니다. 그런데,
> 최근에 어떤 학교의 선생님께서 참이라고 말씀을 하셔서요.
> 혹시 7차교육과정에서 바뀐 것은 아닌가요?

이 질문은 다음과 같은 질문과 함께 여기 게시판의 단골메뉴인 것 같습니다.

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다음 중 순환소수가 아닌 것은?
1) 3.2
2) 0.141414
3) 0.1999...
4) 1.234567...
5) 5.5555
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이에 대하여 여러 선생님의 의견이 있었습니다만 너무 혼동스러워서 요약된 내용을 올리려고 합니다. (1년 전에 한효관님이 1년 있다가 다시 논하자고 한 글을 읽었습니다만 다시 논의가 되풀이되지 않기를 바라는 마음입니다.)
이것은 저 개인의 의견이 아니며 (물론 그렇다고 제가 권위있는 단체를 대표하여 답하는 것은 아닙니다만) 권위에 가까운 경험을 가지고 말씀드립니다.

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(실수까지만 보겠습니다)
수의 분류는 다음과 같습니다.
실수는 유리수와 무리수로 나뉩니다.(즉 유리수집합과 무리수집합은 서로 소이며 합집합은 실수집합입니다.)
유리수는 정수와 나머지(정수가 아닌 유리수)로 나뉩니다.
정수는 자연수와 나머지로 나뉩니다.

이것이 수 자체의 분류 끝입니다.

이제 문제가 되는 부분을 말씀드리면 분수, 소수(무한, 유한 ...) 등 모든 것은 엄밀히 말하면 수의 분류가 아닙니다. 이는 수의 표현법의 분류입니다.

이제 ...

1. 자연수는 우리가 잘 아는 표기법(아라비아숫자)을 써서 나타낼 수 있습니다.

2. 정수는 자연수, 0, 부호'-'를 써서 모두 나타낼 수 있습니다.

3. 유리수는 보통 두 가지 방법으로 하나는 분수꼴이고 하나는 소수꼴입니다.

4. 실수는 소수꼴로 나타낼 수 있습니다.

중학교 교과서를 확인하지 못하였습니다만 제대로 서술되었다면 맨 처음에는 '무한소수로 나타낸다'는 표현을 쓸 것이며 이렇게 나타내어진 것을 무한소수라고 불렀을 것입니다. 즉 무한소수는 이렇게 나타내어진 실수의 모양을 지칭하는 것이지 이 수 자체를 지칭하는 것이 아닙니다.
(만일 무한소수가 이 수 자체를 지칭하는 것이라면, 0.333...=1/3 이므로 '소수=분수'가 되어 엉망이 되어버립니다.)

따라서 위에 소개한 문제는 자체로 옳은 문제가 아니며 다음과 같이 표기되어야 합니다.

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다음 실수 중 순환소수꼴로 표현할 수 없는 것은?
1) 3.2
2) 0.141414
3) 0.1999...
4) 1.234567...
5) 5.5555

답) 4번
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다음 실수 중 순환소수꼴로 표현되지 않은 것은?
1) 3.2
2) 0.141414
3) 0.1999...
4) 1.234567...

답) 1번, 4번
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(그러나 이 문제도 아주 좋은 것은 아닙니다. 왜냐하면 사람에 따라서는 3은 3.000...을 줄여쓴 것이라고 주장하는 경우도 있기 때문입니다. (3=3.000... 이기 때문은 아닙니다.) 그러나 줄여썼더라도 이미 줄여서 쓰면서 순환소수꼴을 버렸다고 생각하는 것이 상식적이라고 보이므로 이 정도 문제는 참을 수 있습니다.)

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한편 고등학교 교과서의 순환소수 표현 부분을 예를 들면,

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(상략)
정수가 아닌 유리수는 소수꼴로 나타내면, 1/8=0.125와 같이 유한소수가 되던가, - 4/3 = - 1.333... 과 같이 소수의 어떤 자리 아래에 같은 숫자의 배열이 무한히 반복되는 무한소수가 된다. 이와 같은 무한소수를 순환소수라고 한다.
(하략)
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이와 같이 유리수는 소수꼴로 나타내는 것일 뿐이며, 이렇게 나타내어진 것이 무한히 순환하면 순환소수(꼴)라고 부를뿐입니다.

순환소수에 대하여는 고등학교 교과서에 이 이상의 이야기가 없으며 이에 대하여는 대학 교과서에서도 가끔 언급되기는 하나 별 뾰족한 이야기가 없습니다.

이 말은 무슨 뜻인가 하면 (수학자가 무한소수나 순환소수에 대하여 잘 모르는 것이 아니라^^) 순환소수에 대하여는 이 이상 이야기할 필요가 없기 때문입니다.

순환소수가 수라기보다는 수의 표기법이라는 것은 받아들일 수 있다면, 이제 0만이 무한히 반복되는 것은 순환소수인가? 즉, "1.000... 은 순환소수인가?" 라는 질문입니다.
이렇게 물으면 애매해지지만, 이를 정확히 써서 "1.000...은 순환소수꼴로 나타내어진 것인가?" 라고 묻는다면 아마 대부분의 사람이 그렇다고 대답하는 것이 옳아보인다고 할 것입니다.

따라서 0을 0.000... 이라고 나타내겠다면(말릴 수는 없지요^^) 이렇게 나타내어진 것은 순환소수꼴로 나타내어졌다고 해야겠지요.

그런데 이럴 필요가 뭐가 있겠습니까? 복잡함을 줄이기 위해서 0만 무한이 반복되는 경우는 논의하지 않는 것이 좋겠다고 생각하는 학자들도 있고, 이들은 이 경우를 제외하도록 교과서를 쓴 것일 것입니다. 이에 따라 교과서에는 다음과 같은 두 가지 표현이 나타나는데...

1) 모든 유리수는 순환소수로 나타낼 수 있다.(어디서도 "모든 유리수는 순환소수이다." 라는 표현은 쓰지 않는다는 점은 주의하십시요.)

2) 0을 제외한 모든 유리수는 순환소수로 나타낼 수 있다.

이 때, 교과서에 2)라고 쓰는 저자도 그 어디에도 0을 순환소수로 나타낼 수 없다는 말을 쓰지는 않습니다. 이것은 1)과 같이 생각하는 사람들도 있기 때문에 0을 순환소수로 나타낼 수 없다고는 주장할 수 없기 때문입니다. 단지 혹시 1)과 같이 기술하면 0의 문제 때문에 복잡한 결과를 낳을지도 모른다는 기우에 0을 제외하면 확실히 나타낼 수 있다는 것 뿐입니다.

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이제 1.000...과 같은 표현은 안 쓴다는 주장을 하는 분들이 있습니다. 이것은 어디서 나온 것인가를 짚고 넘어가면 좋을 것 같습니다.

이는 여러 가지 문제를 해결하는 과정에서 양의 실수(0은 빼고)를 무한소수꼴로 표기하고 싶어집니다. 그런데 유한소수는 그 방법이 거의 항상 두 가지가 있습니다.

1/8 = 0.125000... = 0.124999...

와 같은 것이지요. 그래서 그 가운데 여러 곳에서 쓰기 좋은 0.124999... 쪽을 쓰기로 함으로써 무한소수꼴 가운데 단 한 가지씩만을 뽑는 방법을 잘 사용한답니다. 이것을 오해한 사람들이 0.124999... 만이 옳은 순환소수꼴이고 0.125000... 은 순환소수꼴이 아니라고 하는 것입니다. 그러나 위와 같은 표현방법(0.124999...)을 선택해서 쓰는 사람들도 0.125000...이 순환소수꼴이 아니라고 하는 말은 하는 일이 "절대로" 없습니다.

이제 많은 분의 질문처럼

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다음 명제는 맞는가? 틀리는가?

모든 유리수는 순환소수로 나타낼 수 있다.( )
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와 같은 문제는 우리나라 참고서에서는 없어졌으면 하는 문제입니다.

이 문제에 대한 올바른 견해는 수학사랑 FAQ의 실수 부분의 '유리수 0 도 순환소수?'라는 제목 아래 카이스트 한상근 교수님의 견해와 또 여러 곳에 좋은 글을 많이 적어주시는 puzzlist님의 견해를 들 수 있습니다. 가볍게 쓰느라고 취향이라고 쓰셨지만 실제로 이러한 부분은 어떤것이 옳은 것이라고 엄밀히 정의된 적이 없다고 하는 것이 옳을 것입니다.(어쩌면 100년 전쯤에는 정의하였었을지도 모르지만 현대에는 정의하지 않고 있다고 해야 할 지도 모릅니다.)

따라서 이러한 것을 위와 같은 문제를 내고 틀린 답을 찾게 하는 것은 몇 사람을 골치아프게 하는 것만이 아니라 학생들에게도 많은 혼란과 실수체계에 대한 바르지 않은 개념만을 심어주는 나쁜 문제의 전형이라고 하겠습니다.

어떤 분인가가 쓰셨던 것처럼 중학교 교과과정이 바라는 것은 유리수가 주어지면 어떻게 순환소수로 나타낼 수 있는가? 또 순환소수꼴로 주어진 수는 어떻게 분수꼴로 나타낼 수 있는가 하는 것을 익히라는 것이지 그 이상은 아닌 것입니다. 특히 실수를 모두 무한소수로 나타내는 것은 거의 대학교 수준에서 다루어도 벅찬 내용인 것입니다.

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마지막으로 한효관님의 질문 몇 개를 답하고 마칩니다.

1은 정수입니다.
0.999...는 정수입니다.(1입니다)
0.999...는 순환소수꼴로 표현된 정수입니다.
1/1은 분수꼴로 표현된 정수입니다.
2/2로 마찬가지입니다.

실수를 소수로 분류한다는 개념은 없습니다. 혼동하고 있는 사람들이 잘 못 쓴 참고서의 문제들일 뿐입니다.

중학교 교과과정에 대한 한효관님의 다음 생각은 절대로 옳습니다.^^

"중2교육과정의 목적중 하나가 <정수가 아닌 유리수가 소수로 바뀌었을때 유한소수와 순환소수로 표현할 수 있다.> 그럼으로써 소수의 맛을 느낄 수 있도록 해주는 것일게다.
(중략)
'무한'의 본격적인 개념은 고2과정에서 나온다.
그런데 중2 유리수(정수가 아닌)에서 넌지시 무한의 개념이 도입되는 것이다."

즉 중 2에서는 단지 소수 표현법만 배우며 엄밀한 것은 따지지도 말자는 뜻이며, 고등학교에 가서도 위의 0.000...과 같은 문제는 다루어서는 안되는 문제인 것입니다.