페북 수학그룹에 올라온 질문 중에 "고교 수학 교육과정을 따라가며 힘들거나 아쉬웠던 부분"에 대해 질문한 것이 있다. 많은 사람들이 대답을 해서 댓글이 많이 달렸는데 댓글마다 여러 이야기가 있다. 이 중의 몇 개에 대한 댓글을 여기다 단다. (순서는 대략 댓글 순서다.)


기하에서 보조선 긋기 기하에 보조선을 긋는 방법을 설명해 주지 않아서 답답하다는 것이 여러 사람이 느끼는 것일 것이다. 기하의 보조선 긋기는 왜 중, 고등학교에서 배우는가 하면 이렇습니다. 이것 자체는 우리가 실생활에 꼭 필요한 것은 아닙니다. 우리가 논증기하와 보조선에 의존하는 기하를 배우는 목표로 2차원, 3차원 공간지각능력을 키우는 것이 매우 중요하기는 합니다. 그러나 이것 뿐이 아니라 더 중요한 것이 있습니다. 이는 꼭 필요한 능력을 키우는 와중에 수학에서는 하나의 완성된 이론의 전범을 보여줍니다. 

   그러니까 기하를 배우면 몇 가지 기본되는 정의, 정리 등을 배우는데, 이것을 실제에 활용하게 되면 정리만으로는 불충분하고 실제 문제를 다루는 법을 익히게 됩니다. 이 다루는 법이라는 것은 한두 마디 말로 설명할 수 없고 실제로 사용하는 사람들을 보면서 스스로 터득해야 되는 것입니다. 그러니까 기하를 빌미로 수학이란 이렇게 공부하는 것이라는 것을 한 번 보여주고 싶은 것인데, 이론과 공식만 가지고 사는 것이 아니라 이것을 적재 적소에 아이디어를 내서 적용하는 것이 진짜 공부하는 것임을 잘 볼 수 있는 쉬운 수학이 기하이기 때문입니다. 

보조선 하나 찾기가 이렇게 어려운데도 이것이 쉽다고 말하는는 것은 이것은 그래도 눈에 보이는 대상이고 문제니까 답을 알면 자기가 무엇을 하고 무엇을 못하는지 알 수 있으니까 그런 것이지요... 그래서 쓸데 없어보이는 문제더라도 꼭 한 번 가르치고 싶은 것입니다. 혹시 배운 것을 써먹는 방법을 익혀야 한다는 것을 더 잘 알 수 있는 과목이 생긴다면 아마도 기하는 교육과정에서 없어질지도 모릅니다. 요즘 중요해지고 있는 내용은 이산수학과 기하학입니다. 이 과목에서도 몇 가지 공식만 배우는 것은 아무 쓸모가 없습니다. 헤매면서 이런 도구를 어떻게 쓸 수 있는지 알아내는 것이 꼭 가르치고 싶은 것이지요. 대학에서 보조선 긋는 문제 필요없다고 안가르칠 그런 문제가 아닌 것이지요.


솔루션 매뉴얼 솔루션 매뉴얼 없이 공부하는 것이 가능한가? 하고 질문한 사람이 있었다. 당연히 가능합니다. 우리가 공부할 때는 솔루션 매뉴얼 하나도 없었어요. 책의 뒤에 홀수번 답조차도 없었지요. 그래도 다 공부하고 잘 했습니다. 내가 솔루션 매뉴얼을 잘 활용한 한 번은 대학원 학위 자격시험 때였습니다. 그 때 이것을 써 보고 시험을 위한 준비, 그리고 주어진 내용을 짧은 기간 내에 일정한 수준까지만 정말 잘 이해하려면 솔루션이 아주 효과적이라는 것을 알게 됐습니다. 학교에서 시험을 잘 보려면 솔루션 매뉴얼을 잘 활용하는 방법이 있습니다. (그냥 보고 외우는 것은 별 도움이 안 된다.) 그러나 제대로 수학을 이해하는 데는 이것은 별로 좋지 않습니다. 자기만의 생각으로 설명해 내는 연습을 많이 해야 합니다. 솔루션을 참고하지 말라는 선배가 조금 있다는 말은 아직 잘 모르는 것이지요. 수학을 제대로 배우고 연구하는 사람은 모두 그것을 사용하지 말라고 할 것입니다.


증명 증명을 제대로 하지 않고 풀이법만 가르치는 우리 현실을 지적한 댓글도 있다. 물론 한 가지만 가르치는 것은 나쁘지요. 증명에 대해서 이야기한다면 증명은 몇 가지 효능이 있습니다. 우선 증명은 논리적으로 완벽한 하나의 체계를 갖추는 방법입니다. 이것도 없으면 제대로 하는 것이 아닙니다. 둘 째, 증명을 따라가면서 내용을 머리 속에서 그림으로 그릴 수 있다는 장점이 있습니다. 뭔지 알 수 없는 것을 이해하는 데 증명을 따라서 이해하는 것도 한 가지 방법입니다. 셋 째, 내가 생각하는 것이 맞는지 확인하는 방법으로 증명이 효과적입니다. 내 생각에 빠진 틈은 없는지 보려고 하면 증명해 보다가 찾을 수 있습니다. 증명은 수학에서 한 가지 방편이고 전부는 아닙니다. 수학을 이해하는 데는 계산도, 그림도, 응용문제 풀이도 모두 중요하다. 물론 증명이 중요합니다.


교과서 "학생들의 why를 해결해 줄 수 있는 완벽한 교과서를 보고 싶어요."라고 했고 물론 그 댓글에 완벽한 교과서란 없다고 누군가 말했지만... 왜에 대해서 답하지 못하는 수학은 물론 문제가 많은 것이지요. 만족할만한 답을 할 수 없는 이유 또한 어쩔 수 없는 것이지만요. 만족할만한 답은 그 내용을 다 알고 이해하고 난 다음에야 있는 것이니까요. 단지 충분한 동기를 주는 것은 중요합니다. 시간이 문제지요.

   교과서가 이런 역할을 못하는 것에 대해서는 역사도 조금 봐야 합니다. 우리나라가 일본의 손에서 벗어나서 우리가 가르치게 됐을 때는 우리나라가 너무 경제적으로 열악해서 교과서를 사서 볼 수 있는 사람이 거의 없었지요. 그래서 나라는 교과서를 정말 싸게 보급하기로 했습니다. 그런데 책이 너무 두꺼우면 책값이 비싸지므로 책의 분량을 제한하기로 한 것 같습니다. 이것은 지금까지도 이어져서 고등학교 수학교과서는 몇 쪽 이내로 쓴다 하는 제한이 있지요. 대신 교과서 값은 정말 쌉니다. 이제는 선택해야 하지요. 미국처럼 수백쪽이나 천쪽이 넘는 책을 만들고 돈을 좀 내도록 할 것인지...


교육과정 새 교육과정에서 구분구적법이 빠진다거나 수열의 극한 없이 함수의 극한을 배운다거나 하는 것은 물론 여러 가지 이유를 가졌을 것이고 댓글에 언급한 이유도 있을 것입니다. 특히 이것이 없으면 나중에 여러 가지 분야에서 수학을 사용할 때 개념적으로 문제가 생길 수도 있습니다. 그런데 이것을 안 배워도 논리적 문제가 없는가 하는 것은 꼭 문제가 되는 것은 아닙니다. 지금까지 우리가 배운 수학도 수학을 전부 배운 것은 아니니까 필요한데 모르는 것이 많았지요. 새 교육과정이 무엇인가 조금 빼도 그런채로 공부한 다음 필요한 것은 스스로 알아서 처리하면 되는 것은 맞지요... 새 교육과정에서 문제인 것은 뺀 것은 그렇다고 해도 이것이 새로운 내용이 더 들어가야 해서 예전 것에서 몇 가지 빠지는 것이 아니라는 것입니다. 즉 배우는 내용이 줄어드는 것이지요. 그런데 이것보다 더 중요한 것은 빠지는 것이 체계적이지 못하다는 것입니다. 3차 교육과정 정도에서는 하나의 완벽한 체계로서의 수학을 가르쳤습니다. 비록 이 대부분이 미국과 일본의 체계를 적절히 조합한 것일지라도 그 체계는 매우 훌륭했는데요. 지금의 교육과정은 이런 체계는 무시하고 수준만 맞춘 이상한 것으로 바뀌고 있습니다. 

   예를 하나만 든다면 맨 처음 교육과정에서 빠지게 된 "원순열"이란 것이 있습니다. 이것은 물건들을 동그랗게 늘어놓는 방법의 개수를 세는 것인데요. 특히 염주순열이라고 빨간 염주 몇 개와 하얀 염주 몇 개를 이어서 동그란 목걸이를 만들 때 나타나는 모양의 개수를 세는 문제가 복잡합니다. 염주순열이라고 불렀던 듯합니다. 이 문제가 왜 있는가 하면 경우의 수(합의 법칙과 곱의 법칙)를 배우고 기초적인 공식인 순열과 조합을 배우고 나면 이것을 현실에 활용하는 방법을 가르쳐줘야 합니다. (그러니까 기하에서 보조선 긋는 것에 해당하지요.) 이 모든 것을 한 문제에서 보여줄 수 있는 것으로 염주순열이 아주 적당합니다. 경우를 조금 나눠야 하고 각 경우에 개수를 세는 것은 공식을 사용할 수 있고, 세기의 기초가 되는 도형을 활용합니다. 그러니까 아주 훌륭한 연습문제입니다. 그래서 순열, 조합 단원의 맨 마지막을 장식하는 단 한 문제였지요. 이 문제는 당연히 앞의 다른 문제보다 어렵습니다. (이것은 기하에서 단순한 삼각형의 각의 계산 같은 것보다 보조선 긋는 문제가 어려운 것과 똑같지요.) 이것을 빼면 순열, 조합 단원이 절름발이가 되는 것입니다. 꼭 마찬가지로 삼각형, 사각형 평행선 다 배운 다음에 보조선을 하나라도 학생이 그려야 하는 문제는 못 물어보는 것과 똑 같습니다.

   제가 보기에 염주순열을 뺀 사람은 염주순열이라는 좋은 말이 있어서 요것만 빼자 한 듯이 느껴집니다. 기하에서는 보조선 긋는 문제에 다른 이름이 없어서 빼지 못하는 것이 아닐까 생각이 듭니다. 대신 기하에는 다른 말을 하지요. 기하 문제는 전부 어려워서 기하를 모두 빼자는 말을 하는 사람이 있는 것 같습니다. 왜 이런 생각을 하는 것인지 이해가 안 되는 것이 정상이지요.


학원 고등학교 수학을 학원가지 않고 스스로 공부하면 제대로 할 수 없을 것 같다는 말을 한 사람이 있다. 당연하고 또 그렇지 않기도 합니다. 문제는 짧은 시간(예를 들면 2년) 안에 우리나라 입학 시험에 합격할 만큼을 하려면 누군가의 도움이 있어야 한다는 것입니다. 우리 교육과정은 무엇이 문제인가? 외국은 어떻게 하는가? 하고 생각해 보지요. 고등학교 공부는 교과서와 문제집 가지고 혼자서도 공부할 수 있습니다. 시간이 문제입니다. 외국에서는 수학을 잘 모르겠으면 조금 못한 (어떤 때는 많이 나쁜) 대학에 들어가서 천천히 수학을 공부해도 됩니다. 고등학교도 1년 더 다녀도 됩니다. (반대로 빠른 사람은 2년에 졸업해도 됩니다.) 우리나라에서 이것이 안 된다면 (학교가 하게 해 줘도 안된다면 이란 뜻입니다) 그 이유가 무엇인지 생각해 봐야 합니다. 이것은 수학이 해결해줄 수 없는 것이지요. 적어도 나중에 취직할 때 고등학교 1년 더 다녔다는 것이 문제되지는 않는다는 것을 저는 압니다. 저라도 그런 것은 문제삼지 않을겁니다. 일을 잘 하는가가 관건이지요. 


엄밀하지 못한 강의 "미적분 정의도 모르고 공부했다"고 불만인 사람도 있다. 이 문제에 대해서 선생님은 대학에 가서 배운다고 설명해 주지 않았다고 하는데, 이에는 두 가지 면이 있지요. 우선 입시 문제를 풀기 위해서, 특히 많이 이론적으로 어렵지 않은 선다형 문제라면 생각을 많이 하면 점수에는 불리합니다. 그래서 선생님이 내용을 많이 또는 제대로 설명하지 않으려는 부분이 있습니다. 또 하나는 수업 시간이 많지 않은데 제대로 된 설명과 "왜"에 대한 질문 대답 등은 많은 시간을 잡아먹기 때문에 선생님들이 이를 잘 안 하려는 것입니다. 또 이러다 보니까 선생님들이 잊어버리고 잘 모르게 되기도 하지요. 하지만 수학을 제대로 익히려면 이런 질문이 중요하고 이를 설명해 주는 많은 예와 반례를 알아보는 것이 중요하지요. 이 과정이 실제로 문제 풀이와 연계되는 것이고요. 그런데 현재 우리 수업은 이런 것이 불가능합니다.


수1의 어려움 고등학교 후반부의 미적, 기벡 등에 비해서 수1 부분이 더 어렵게 느껴진다고 말하는 사람이 있다. 이것은 하나도 이상한 것이 아닙니다. 수1 부분은 보통 대수와 기하라고 하는 기본 사고 및 계산 방법입니다. 어떻게 보면 이것은 아무리 오래 공부해도 더 공부할 것이 있는 부분입니다. 우리 같은 수학자가 평생을 공부해도 계산방법은 극히 일부밖에는 모를 정도이죠. 그러니까 익숙해져서 쉽게 계산을 활용하고 그림을 머리에 그릴 수 있게 되려면 많은 연습이 필요합니다. 오히려 미적분은 몇 가지 계산방법만 배우면 고등학교 수준에서는 더 생각할 것이 없죠. 즉 미분가능한 함수를 미분하는 것은 아주 쉬운 문제입니다. 적분에서도 치환적분과 부분적분을 다룰 수 있게 되면 충분하고 이조차도 대부분 수1 식의 계산이 복잡해서 잘 못할 뿐이지요. 

   미적분이 수1 보다 더 고급 수학인 이유는 모든 점에서 미분이 가능하지는 않은 함수들을 다루다 보면 아주 복잡해서 머리 속에 그림을 그리기 어려운 것들이 나타나고 이것을 잘 알아내기 위해서 많은 계산을 해 봐야 하는 문제가 나오기 때문이죠. 이것은 대학 수학을 다 공부해도 여전히 어려운 문제이고요. 심지어는 어려운 적분을 모두 잘 이해하는 것보다도 더 어려울 때가 많아서 미적분이 수1의 내용보다 더 나중에 개발되고 아직도 이론을 연구중인 이유이지요. 고등학교는 미적분 문제에서 한계를 딱 지어 놓았으니까 어렵지 않지요. (수1 부분은 한계가 없어요. 1700년대까지 계산하던 내용이므로 고등학생들은 이것을 모두 잘 알 수 있어야 한다는 것이니까요.)


문제의 유형 시험문제가 유형 위주로 되어 있는 것이 싫다는 답글이 있었다. 문제를 풀 때 처음 본 문제라고 생각하고 풀면 시간이 많이 걸리는 문제를 내고 유형에 따라 생각하지 말고 풀라는 것은 요즈음 고등학교 문제들이 가진 가장 나쁜 문제점이다. 이 교과과정의 내용을 결정하는데 결정적인 역할을 하는 분들이 수학 문제를 이렇게 푸는 것이라고 생각하고 있는지 모르겠다. 그래서 유형에 따라서 답을 찾을 때 간단하게 적히는 (정답지만 봐서 몇 줄 안되는) 문제가 쉬운 문제라고 생각하는 듯하다. (선생님들은 이런 문제만 가르친다면 선생님 스스로 생각하고 스스로 공부할 필요가 없어지니까 일이 쉬워진다.) 하지만 이런 문제를 처음 보는 문제라고 생각하고 들여다보면 정말 많은 생각을 하게 된다. 이 문제들이 결코 쉽지 않은 문제라는 뜻이다. 이런 문제를 짧은 시간에 풀라고 하면 어쩔 수 없이 유형별 풀이법을 생각없이 (이것도 이유를 생각하면 시간이 많이 뺏긴다) 풀어나갈 수밖에 없다. 교육적으로도, 나라의 경쟁력을 생각해도 가장 나쁜 교육의 표본이다. 단지 행정하는 사람들만 교육의 문제들을 설명하는데 드는 노력이 없어 편한 것이 아닐지?


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오늘 새벽에 페북에 데이터 분석을 하려면 수학을 얼마나 공부해야 하나 하는 질문이 있었다. 아마 모든 사람들이 궁금해 하는 질문일텐데 대부분 조금만 하면 좋겠는데 무엇을 해야 하는가가 궁금할 것이다. 데이터 분석에 관심이 부쩍 늘어나는 중이라 나도 이 질문의 답이 궁금하다. 답글 달린 것처럼 많이 알면 좋겠지만 시간이 부족하니... 


인터넷을 통해서 알게 된 웹페이지 하나를 보면 몇 가지 수학을 들고 있다. pie chart를 써서 나타내 준 것에는... linear algebra, prabability, statistics, multivariate calculus, algorithm & complexity 등등이 있다고 되어 있다. 이것은 아마도 누구나 알아야 하는 것이겠다. 앞의 세 가지는 꼭 필요한 것이고, 뒤의 algorithm 등은 코딩을 조금은 알아야 하니까, 또 날코딩은 안 하더라도 남이 만들어 놓은 코딩은 이해할 수 있어야 하니까... 그리고 요즘의 deep learning은 무슨 1억개 변수인 함수의 최대최소를 다룬다는 사실 정도는 파악할 수 있어야 하니까 다변수해석학의 개념은 잘 가지고 있어야 한다.


이것만이면 되는가? 글쎄 잘 모른다. 지금 새로 생긴 분야. 이제부터 왕창 발전할 분야를 제대로 사용하려면 무엇을 알아야 하는가라고 물어보면 지금 아는 사람은 없다. 단지 유추해볼 수 있는 몇 가지 곁가지 사실을 보자. 


1970-90년대에 데이터분석을 위해서 많은 사람들이 공부하던 것이 있다. 소위 조합론(combinatorics)인데 특히 기하학적 조합론 또는 조합론적 기하학(combinatorial geometry)이다. 당시에 마구 주어진 데이터(보통 고차원이다)를 공간에 찍어놓고 구조를 찾으려고 이 점들을 연결해 놓고 연구했다. 이것은 graph라고 부르는 것인데 이것들에 대해서 알려진 사실들이 많다. 새로운 시대의 데이터 분석은 이런 기법을 활용하는 것도 한 몫 할 것같다. 이런 수학 지식은 위에 나열한 데에는 없다. (사실 이것은 비교적 이해하기 쉬운 수학분야쪽에 들어간다.) 


많은 수를 다루는 데서 가장 기본적인 도구는 특정한 종류의 대상이 몇 개인가를 세는 것이다. 이것을 counting이라고 하고 사실 수학에서 제일 어려운 문제들이다. 고등학교 때는 경우의 수라고 해서 배운 것인데 몇 개의 공식만을 활용해서 문제를 풀 수 없는 독특한 과목이었다. 대부분 수학과목이 몇 개의 공식만 잘 이해하면 끝나는데 그렇지 못한 분야가 몇 개 있다. 조합론이 그런 분야이고 고전 논증기하가 그런 분야이다. (counting을 요즈음은 초등학교에서 `헤아리기'라고 부른다고 들었다.) 그런데 데이터를 다루려면 이 counting이 기본이 될 수밖에 없고 이것은 컴퓨터만으로는 잘 셀 수 없다. 최근에 우리나라 수학계에 혜성처럼 나타난 허모박사도 세상에서 가장 어렵다는 대수기하학의 방법을 써서 아무도 못 푸는 counting하는 문제도 풀고 해서 유명한 것이라 한다. 이것이 현실과 동떨어진 것이 아니라 데이터 분석에 바로 사용될 수도 있을만한 내용이라는 점이 함정이다.


배경지식은 이만큼 하고, 그러니까 데이터 분석을 하려면 수학을 얼마나 공부해야 할까? 


이렇게 이야기하자. 내가 보는 바로는 미래에 데이터를 분석하는 사람은 한 가지 관점에서 보아 두 가지 그룹으로 나뉜다. 관점은 수학을 얼마나 사용하는가이고, 두 가지 그룹은 당연히 수학을 조금만 쓰는 사람들과 많은 수학을 필요에 따라 찾아보면서 사용할 수 있는 사람들이다. 이사람들은 어떻게 다를까. 수학을 조금만 쓰는 데이터 분석가의 수는 매우 많아질 것이다. 특히 새로 나오는 컴퓨터 기법을 익히고 수학을 조금만 쓰는 사람은 예전의 기법을 배운 사람들보다 경쟁력이 높을 것이므로 기업/개인은 계속해서 젊은 사람들을 싼 값에 쓰려고 할 것이고 과당경쟁으로 출혈경쟁이 될 가능성이 많다. 지금도 여러 가지 일에서 이런 현상을 많이 본다. 예를 들면, 지금도 하지 말라고 하는 날코딩하는 기사와 비슷한 처지가 될 가능성이 높다. 한편 수학을 많이 이해하고 사용할 줄 아는 데이터 분석가는 나름 경쟁력을 가질 것이다. (수학을 잘 아는 사람은 항상 수가 매우 적다는 가정이다.) 이런 사람을 필요로 하는 곳은 지금보다 매우 늘어날 것으로 보인다. (단지 내 바램만은 아니다.) 따라서 이 사람들은 몸값이 올라갈 가능성이 많다. 즉 이 직업에서도 극과 극으로 갈라질 것으로 보인다. 


미래는 모든 것이 이렇게 극과 극으로 갈린다. 한 동안은 그럴 것이다.(아마도 10-30년. 그리고 그 이후는 전혀 감도 안 간다.) 이럴 때는 차별화돼야 한다. 다시 말하면 조금만 준비하면 들어올 수 있는 부분은 너도 나도 경쟁해서 결국 도움이 안 된다. 전 세계 사람들에게 완전히 까 놓고 "나는 이렇게 이런 것을 한다"고 알려줘도 따라 들어오기 어려운 것을 적어도 하나 가지고 있어야 제대로 된 위치를 가질 수 있을 것이라고 생각된다. 이제부터 경쟁은 전 세계 경쟁이니까 국내 법에 근거한 어떤 보호장치도 작동하지 않을 것이다. (이미 수십년 전부터 미국의 모든 AS 응대 서비스는 인도 같은 곳에서 한다. 물론 질이 매우 저하 됐다. 하지만 비싼 돈을 쓰면서 고급 AS하는 회사는 더 이상 없다. 우리나라 삼성/엘지만 그런 듯하다.


이런 미래를 생각하고 데이터 분석도 생각해야 할 것이다. 

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안그래도 미래를 계획하는 공부를 하고 있는 중이다. 필요한 일이 있기도 하다. 요즘 읽어보는 글들을 보면 미래를 사는 사람들은 자신의 생애에 평균 10번도 넘게 직업을 바꿀거라고 한다. 어떻게 그런 예측을 하는지 잘 모르겠지만 지금 추세대로라면 그런 일이 벌어진다고 놀라지 않을 듯하다. 그런데 수학을 가르치면서 보면 요즘 학생들은 꼭 필요한 공부만 쏙 빼놓고 하고 있다는 느낌이 든다.


미래를 살려면 무엇을 알아야 할까? 미래에도 수학공부를 해야 하나? 미래에 잘 산다는 것은 어떤 것일까? 이런 질문을 해 보지만 알 수 있는 것은 하나도 없다. 페북에서 본 어떤 미래학자가 이야기한 것처럼 지금은 사회가 대대적으로 변하는 변혁기이다. 아마도 르네상스가 시작하던 시기, 산업혁명으로 정신없던 시기, 조선이 생기던 시기, 조선 말기의 혼란기, 6.25를 지나고 정신없이 일하던 시기보다 더 심한 변화가 생길 것 같다.


전공이 수학이라 "미래에도 수학공부를 해야 하나?" 하는 질문은 자주 생각한다. 답은 yes와 no가 혼재한다. 본질적으로 생각안하고 살 수 있는가? 하는 것이 질문의 핵심이다. 생각을 해야 한다면 수학공부를 해야 한다. (수학은 생각의 핵심이다.) 혹시 생각하지 않고 살 수 있다면 공부는 안 해도 된다. 이 이분법이 마음에 들지 않으면 혹시 생각은 해야 하지만 뭔가 좋은 기계가 생겨서 대신 생각해준다면...? 하고 상상해 볼 수 있겠다. 모르기는 매한가지지만 혹시 200년쯤 후에는 이런 일도 가능하겠지만 아마 20년 정도 후에도 사람은 자기가 생각해야 할 것이 많을 것 같다. 


그러니까 good news인 no라는 답 부분은 지금 공부하는 수학은 많이 안 해도 될거 같다는 것이고, bad news인 yes라는 답 부분은 지금 수학은 필요 없지만 다른 수학이 나타나서 나를 공부해라 할 것 같다는 것이다. 지금 공부하던 수학은 어떻게 되는가? 또 잘은 모르지만 이런 것을 생각해 보면 어떤가? 그러니까 요즘 나오는 컴퓨터 프로그램들은 예전에 손으로 고생해서 하던 계산을 모두 시간도 안 걸리고 계산해준다. 틀리지도 않는다. 이런 것은 예전만큼 고생하며 익힐 필요는 없는 것 같다. 


예를 들자. 

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이런 생각을 하면서 지금의 공부 단계를 보자. 고등학교 1학년에 온 힘을 바쳐서 연습하는 것은 이런 다항식 계산이다. 그런데 그 원리와 작동 방식은 자주 봐서 잘 익혀나가야 하지만, 틀리지 않으려는 연습을 빼도 된다면 아마도 필요한 시간이 반도 안 될것이다. 그러니까 배울 수 있는 내용은 늘어난다. 예전에는 계산이 안 되는 사람은 미적분을 못 배운다고 생각했을 것이다. 하지만 꼭 그런 것은 아니다. 지금 나는 나이가 들어서 계산하면 항상 틀리지만 미적분은 학생 때보다 더 잘 알고 있다. 그러니까 계산을 꼭 알아야 하지만 미적분을 잘 알기 위해서 계산을 꼭 틀리지 않아야 하는 것은 아니다. 그러니까 미적분을 일찍 배울 수도 있다. 그리고 아는 사람은 다 알지만 미적분은 사실 별로 많은 것을 익히지 않아도 된다. 정말 많은 연습이 필요한 것은 다항식과 함수의 계산이지 미적분 개념이 아니다. 


미래를 보면 지금은 없는 여러 가지 새로운 직업이 난무한다. 이것들은 모두 창의적 생각이 가미된 직업이고 단순노동 (계산도 여기 포함된다) 같은 것은 안 해도 되는 직업뿐이다. 그러니까 물리적 단순노동은 로봇이 해주게 되고, 정신적 단순노동은 컴퓨터가 해 준다. 사실 고급 정신노동도 컴퓨터가 leaning을 가지고 해결해 주려고 하고 있을 것이지만 이것이 얼마나 믿음직스러운지는 확실치 않다. 적어도 지금은... 그러니까 생각을 제대로 하기 위해서 "수학적 생각" 방법을 연습하는 것은 매우 중요하지만 수학의 공식을 바로 쓰고 싶어서 그런 것이 아니라, 수학에 나타나는 정말 여러 가지 아이디어 가운데 한 가지씩 필요에 따라 뽑아 쓰고 싶은 것이다. 즉 미래를 사는 사람들은 정말 많은 수학을 알아야 할지 모른다. 내가 전공하는 리만기하학의 내용도 모두 다 알고 그 핵심인 접속connection이 어떻게 벡터장 같은 변화하는 물리적 양을 미분해주는지를 이해하고 있을지도 모른다. 단지 그것을 계산하라 했을 때 나타나는 텐서 계산을 손으로 하는 것은 안 해봐도 될 것 같다는 것이다. 이것은 이미 컴퓨터가 잘 한다.


이런 생각 끝에 상상되는 것은 미래에는 배우는 수학의 양이 늘어난다는 것이다. 단지 배우는 데 만 보면 시간은 훨씬 덜 걸릴 것이다. (계산 연습이 많이 빠지니까. 완전히 빠지지는 않지만...) 즉 지금 우리나라에서는 선행학습 금지당한 많은 것들을 겉핥기 처럼이라도 알고 나갈 것 같다. 그리고 그것을 잘 아는 것처럼 자유자재로 활용할지도 모른다. 컴퓨터의 도움을 옆에서 받으면서... 그리고 이런 능력을 가진 사람들, 특히 예술적 창의성을 적용하는 데, 그 대상이 지금은 박사를 받아도 들어본 적도 없는 수학 공식들이고 그것도 지금 한 명의 박사가 아는 내용의 10배나 100배를 자유자재로 활용하는 수준인 그런 사람들이 온 세상에 깔려 있는 세상이 상상된다면...? 이런 사람들을 키우려면 이제는 어떻게 가르쳐야 할까?


이런 사람이 되려면, 공부할 때 새로운 아이디어가 들어있는 이론에서 아이디어를 재빨리 파악하는 능력이 필요하고, 그런 기본적 구조에 컴퓨터의 계산력을 곧바로 적용하는 능력이 필요할 것이다. 그리고 이런 일 하느라고 매 번 컴퓨터를 기본 언어에서 부터 코딩하는 것은 말도 안 된다. 당연히 최 첨단의 언어, 모든 코딩이 다 구비되어 있는 프로그램에서 그 기능을 최대한 활용하여 시간이 걸리지 않고 이 복잡한 과업을 해낼 수 있어야 할 것이다.

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이 글은 길어서 본문을 파일로 올려둡니다.


간단히 서론만 다음과 같습니다.





페북에서 학생들 상대로 수학 공부의 필요성에 대해 설문조사한 기사를 보았다. 이 기사의 내용은 물론 이해되는 것이지만 거기 나타난 학생들의 의견은 물론 수학을 많이 공부해보지도 않은 것이고 또 삶을 살아본 다음에 하는 이야기도 아니므로 그렇게 중요하지는 않다. 단지 현장의 학생들은 수학 공부를 어떻게 느끼는가를 말해주는 정도이다. 물론 내가 공부할 때도 이거 어디 쓰는지 잘 몰랐지만 수학을 잘 하는 사람들을 많이 보고 그 사람들의 말을 믿기 때문에 나중에 중요하게 된다는데 의문을 가지지 않았다. 요즘 학생들이 더 빨리 비판적이 되는 것인지? 아니면 그냥 잘 못하니까 싫어서 하는 이야기인지? 잘 모른다.

이 기사에 댓글을 단 친구들 중에서 특별히 비교적 정확한 댓글을 단 한 친구의 글 가운데 ``가령 변호사/판검사가 되기 위해 수학 1등급을 받아야 하는건 분명 잘못되었다고 생각합니다.'' 라는 표현에 내가 딴지를 걸었다. 정말 그런가? 나중에 수학을 잘 안 쓰게 될 사람은 예를 들어 고등학교의 어려운 수학 같은 것은 배울 필요가 없는가? 특히 이런 것을 잘하는 것은 나중에 쓸모가 전혀 없으니까 시간낭비일까?

이 글에서 이런 질문에 답을 해 본다. 단지 내용 중에 대학 수학의 내용도 조금 있다. 읽는 사람의 이해를 돕기 위한 것이지만 모르는 사람들은 빼고 읽어도 될 것이다.


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요즘 중등교육에서는 수능 절대평가가 관심사인가보다. 영어 과목은 2018학년도 수능부터 절대평가를 한다고 한다. 이에 대해 국어, 수학도 절대평가를 원하는 사람도 많다. 이 말의 뜻은 수능이 고교 과정을 일정 수준으로 이수했는가에 대한 자격시험으로 바뀐다는 것이다. 마치 단순히 평가 방식을 바꾼다는 것처럼 이야기하지만 이것은 원래 시험을 없애고 새로운 시험을 만드는 수준의 개정이다.


문제는 이것만으로는, 그래서 고등학생의 30-50%가 모두 최상위 등급을 받아 통과했다고 하면 대학이 학생을 어떻게 선발하는가 하는 문제가 된다. 뭔가 생기지 않으면 안된다고 생각된다. 문제는 이 새로운 것에 사교육이 끼어드는 것이 줄어들기를 바라는 것이겠지...


두 가지 가능성이 보인다. 첫째는 대학이 본고사에 해당하는 것은 만드는 것이다. 이것을 막기 힘들 것이다. 결국 또 다른 사교육이 생긴다. (이 배경에는 어떤 경우에도 사교육이 효율적이라는 무시할 수 없는 사실이 있다.)


둘째는 강력하게 대학이 본고사를 치를 수 없게 막는 것이다. 이 경우 이 문제는 대학 입학 후의 문제가 된다. 실제로 이렇게 운영되는 것이 미국의 교육이다. 고등학교에서는 어느 수준의 공부만 한다. 대학은 이 학생들이 어떤 과목을 이수했는가 성적이 어떤가만 보고 학생을 선발한다. 그리고 2년 동안 기초교육을 시킨다. (이 기초교육에는 보통 언어, 수학이 있고 이과쪽을 전공하고자 하는 경우는 과학 한 과목 series 정도가 포함된다.) 이 과정에서 고등학교에서 얼마나 공부를 했는지가 드러난다. 그래서 이 초기 2년 사이에 많은 학생들이 학교 사이를 왔다갔다 한다. 성적이 별로 안 좋으면 자기에게 맞는 대학으로 전학한다. 내가 공부했던 UCLA에서 내가 공부하던 시절에 우리나라 사람만 보면 500명이 훨씬 넘는 (아마 7-800명 정도) 학생이 1학년에 입학하지만 이 2년 사이에 대부분 더 낮은 학교로 전학가고 3학년이 되면 200명 정도가 남는다고 들었다. 이 중에는 다른 학교에서 학점이 좋은 학생이 전학온 경우도 있으니까 사실 대부분이 학교를 옮긴다. (일반 미국 학생들도 사정은 비슷하다.) 대학에 있는 사람의 입장에서 보면 이것이 가능하다면 당연히 이 둘째 방법이 좋다고 생각한다. 학생들을 가르쳐보고 평가하면 정말 제대로된 평가를 할 수 있다. 


(예전에 우리가 쓰던 방법이 유럽 방식으로 고등학교에서 엄청나게 공부하고 시험봐서 좋은 대학에 들어가던 것이라면, 지금은 점점 고등학교는 최소한만 가르치고 공부하고 싶어하는 또는 집에서 밀어붙이는 학생만 공부해서 대학 간 다음에 공부가 판가름나는 미국 식으로 바뀌는 것이다. 물론 미국식은 성공적인 교육이 아니라고 평가되고 있는 것이지만...)


미국은 이 방법을 잘 쓴다. 대학에서도 그렇지만 대학원에서도 초기 core 과목은 성적 받기 매우 힘들고 이것을 통과해야 제대로 입학한 것이라고 생각할 수도 있다. 그러니까 학부에서는 2년 4학기 (또는 5-6학기) 길이의 Calculus와 1년 2학기 물리학이 이 역할을 한다. 한편 전공에 들어가면 다시 이런 과목이 있다. 수학 전공이면 해석학(Advanced Calculus)가 그것이고, 전산학 전공 같으면 전공에 들어와서 처음 듣는 컴퓨터 언어 과목이 이런 역할을 한다. 많은 학생들이 이 과목을 패스하느라 이 과목을 두 번, 세 번 듣는다. 그리고도 안 되면 자신의 수준에 맞는 학과나 대학으로 전과/전학을 한다. 이것이 가능하려면 학과 사이의 전과나 타 대학으로 전학이 쉽게 이루어져야 한다. 그리고 이 때는 시험을 보기 힘드니까 교수의 추천서가 매우 중요하게 된다.


이 두 번째 경우에는 사교육이 어떻게 될까? 이 경우에 사교육이 없어질 리는 없다. 하지만 이 사교육은 대학 과목별로 다르고 전공별로 다르고 어떤 식으로 이루어질 지도 모르니까 아마 구체적으로 분별하기 힘들 것이다. 그러니까 사교육이 많다고 말하기도 어려워질 것이고 사교육을 없앴다고 생각할 지도 모른다. 하지만 진짜로는 알 수가 없다.


하지만 내 관점에서 보면 이렇게 생기는 사교육은 지금의 사교육보다는 낫다. 적어도 쉬운 시험에 대해 실수 없도록 준비시키는 비교육적인 사교육보다는 훨씬 더 필요한 내용에 대한 실력을 늘려 주는 사교육이 될테니까 학생의 입장에서도 이런데 비용을 들인다면 쓸데 없이 돈을 쓰는 것이 아니다. 정말 피가 되고 살이 되는 사교육에 좀 더 가까울 것이다.


정책을 입안하는 분들이 이런 결과를 원해서 하는 것은 아니겠지만 "뭐 뒷걸음 치다가 뭐 잡는다"는 말처럼 어쩌면 이런 일이 일어나면 교육이 발전할지도 모른다. 단지 대학생들이 자유로 전학할 수 있는 상황이 생겨야 할 것이다. 또 결원이 생겼을 때 대학이 즉시 정원을 추가로 채울 수 있어야 학교가 운영 가능할 것이다.

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  • 조용일 2015.01.04 16:19  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    사교육하니까 이런 저런 생각이 납니다.
    고등학교때 수업시간에 50%자는 애가 수학능력시험 이과 수학 전국 92등하고, 80% 자는애가 서울대에 합격하고.....
    내신 성적 좋은 애는 학교 수업때 학원 숙제하거나 폰게임하거나 자고....
    제가 살면서 궁금한 것은 사교육은 대학 입시에서 필수 요소인가?
    개인의 노력으로 사교육없이 대학입시때 좋은 성적을 거둘 수 있는가?
    메가스터디의 손주은처럼 성적을 결정짓는 가장 중요한 요소는 유전자인가?


    제가 아는 바로는 유럽쪽은 사교육이 없다고 합니다. 독일이나 프랑스......
    사교육이 없어도 되는 이유는 공교육 기반이 탄탄해서 인가?

    성적을 결정짓는 가장 중요한 요소는 유전자인가...
    이에 대한 반례는 Oswald Teichmüller입니다.
    어머니 아버지 2분다 직업이 학문과 크게 관련되있진 않죠..

    이만 어수선한글 줄입니다.

    • 그로몹 2015.01.25 20:09  댓글주소  수정/삭제

      사교육 없이 개인의 노력으로 (비교적) 가능한 시험이 있고, (거의) 불가능한 시험이 있습니다. 이것은 특히 시험문제 수에 비해서 시간이 많은가 적은가에 달려 있습니다.

      프랑스 고등학교에서 학교에서만 공부하고 잘 할 수 있는 이유는 고등학교 선생님들의 실력이 좋기 때문이라고 생각됩니다. 대학원 마치고 처음 대학에서 가르칠 때 같이 있던 젊은 프랑스 박사는 자기 같은 사람들이 몇년씩 고등학교에서 가르친다고 했어요. 우리나라는 석사도 안 한 졸업생들이 고등학교 선생이 되고, 그 후에도 거의 더 공부를 안 하는 상황에서는 아무리 똑똑해도 수준차를 극복할 수 없지요. 공교육 기반에는 건물 같은 시설은 많이 필요 없고, 책과 선생님이면 됩니다.

오늘 페북에서 본 이야기 하나는 초등학교 수학문제에 대한 것이다. 이 문제에 대한 아이의 답이 우스워서 댓글을 하나 달았지만...


각설하고 이 문제에서 생각할 점은 아이들 입장을 생각하고 문제를 냈으면 한다는 것이지만 이 문제의 내용이나 수준이 잘못되었다는 오해는 없으면 한다. 문제는 "왜 3671이 3609보다 큰지 설명하시오"라는 문제이다. 아이에 대답은 "이것도 이유가 있나?" 라는 항의식 답변. 아마 이것은 교과서 익힘책인가? 아니면 참고서에 나온 문제이거나.


이에 대한 댓글 가운데 몇 가지 들면

  1. 저는 다수의 의견과 다른 생각을 가지고 있습니다. 초등학교 부모로서 저도 아이들 문제 보면 설명하기 어려운 문제들 봅니다만, 아이들은 이에 대한 내용을 학교에서, 교과서에서 배워 더 잘 알고 있습니다. 위의 문제라면, 학교에서 같은 자리수의 숫자 크기 비교는 가장 큰 자리수부터 비교한다 라고 배우는 거죠. 그래서 ... 천의 자리, 백의 자리 숫자가 같기 때문에 십의 자리를 비교하는 거라고 해야 하는 것입니다. 그런 설명을 선생님이 분명히 하셨겠죠? 제 아이였다면 아이 의견을 인정해주되, 당연한 것도 그것을 설명할 수 있어 다른 사람에게 알려줄 수 있으면 더 좋다는 것과, 당연하다 여기는 것이 정말 당연한 것인지 생각해 보아야 한다는 것을 말해 주었을 겁니다. - "4학년학부모"님 
  2. 익숙해지겠죠. 풀이과정을 외울테니까. 그렇다고 창의력이 키워진답니까? 조금 더 싫어하게 되는거죠. 생각하는 수학은 무슨... 만드는 사람이랑 설명하는 사람이야 생각하겠지만, 배우는 사람은 포기하게 됩니다. 댁들이 하려는 건 그나마 외우기라도 하면 되던 걸 그것조차 못하게 만드는 것입니다. - "쓰리고"님
  3. 현직 초등학교 교사입니다. 사실 저도 요즘 교과서 보면 '왜 그런지 설명하시오.'나 '이 단어를 넣어 문장을 만들어 보시오.' 같은 문제가 지나치게 많다는 생각을 합니다. 옛날 교과서랑은 너무 다르죠. 요즘은 연산보다 수학적 의사소통을 중시해서 그렇습니다. 즉 자신에겐 당연한 것도 더 어린아이에겐 그렇지 않을 수도 있는데, 그걸 설명해줄 수 있는 능력을 요하는 거죠. 나아가서는 어른이 되었을 때 자신의 전문 분야를 다른 사람에게 이해시키는 능력의 초석이 됩니다. - "초등교사"님
  4. 웃자고 올리신 글이겠지만, 외국에서처럼 논리력을 키우려면 필요한 문제인 듯 싶네요. 그리고 학교에서도 충분히 수업한 내용일 거구요. 수학교육이 제대로 되어야 합니다. 물론 다른 사회 과목이나 과학 과목도 중요하고요. 아이들이 계속 문제나 현상에 대해 생각하게 하는 문제들이 좋은 문제죠. 생각하는 힘을 길러주니까요. 다음부턴 같이 생각해보자~라고 하시면서 아이들이 스스로 생각할 수 있도록 지도해 주시면 좋겠네요. - "ㅎㅎ"님
  5. 숫자는 관념적인 것이기 때문에 어린아이들이 그것을 이성적으로 분석할 능력까지는 가지지 못하는게 당연한 겁니다. 오히려 당연히 큰 것처럼 느껴지는 것이 머리속에 표상으로서 숫자가 자리잡고 있다는 증거겠죠. 초3이 저런 문제를 푼다는 것 자체가 주입식 교육의 폐해입니다.

이런 답글들이 달린다. 아마도 대부분 자신의 주변에서 경험한 바에 따른 것이리라. 언급하고 싶은 것은 이들의 차이가 대단하다는 것이고 꼭 반박하고 싶은 마음도 없다. 이러한 차이를 야기하는 것은 무엇일까? 또 해결방법이 있는가? 한 50%라도 해결할 수 있는가?


나의 댓글은 

문제를 내는 사람이 줄여서 생각하는데 익숙해져서 문제라 어구대로 해석하면 이상하지만... 

"어떤 물건이 3671 있으면 3609개보다 많다. 사실을 3671 3609라는 ( 표현으)로부터 알아냈다면 이를 어떻게 설명할 있을까?" 

이런 식으로 문제를 만들면 저런 일은 생기겠죠. 혹시 이렇게 내면 문제를 이렇게 꼬아 냈어 하는 식으로 반응하는 사람이 생기려나?

였다. 


그런데 어떤 학생은 저런 문제가 도움이 되고 어떤 학생은 안된다. 모두에게 저런 능력을 키워주고 싶은데 어떻게 하는 것이 바른 방법인가?



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  • 운영자 2013.11.27 20:41  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이 글을 써 놓고 보니 한 가지 덧붙일 것이 있다. 이 문제가 초등학교 3학년에게 어렵다거나 쉽다거나 할 부분은 없다. 또 이 문제에서 대학의 실수의 정의를 언급할 것도 아니다.

    이 문제를 익히는데 몇 살이 되어야 이해된다는 법도 없다. 이 문제를 2학년에서 익힌다고 선행학습이라는 말도 이상해보인다. 초등학교 1학년이라도 수학적인 생각을 많이 하는 학생은 이 문제가 쉽게 느껴질 것이다. (어떤 수학문제든 모르는 사람에게는 너무 어렵고 아는 사람에게는 너무 쉽다.)

    사람들은 이런 당연한 것을 너무 무시하는 것 같다.

최근에 포항공대 박형주 교수님이 국가수리연의 수학원리응용센터장으로 부임하셨다. 이 기회에 박교수님을 인터뷰한 기사가 실렸다. 이 기사는 수학이 나라 발전에 얼마나 중요한가 하는 것을 박교수님의 이야기를 통해 잘 소개하고 있다.

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  • 박상빈 2013.11.18 22:40  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    퀀트 트레이딩? (수십개의 수학 모델을 컴퓨터 프로그래밍 후 주가를 예측하는 기법)

    단타로 주식거래를 하는 기법에 대해서 들었는데

    이들의 수익률이 무지막지해서 미국에서는 초단타를 금지하는 법까지 생겼다는

    걸로 알고 있습니다.

    http://magazine.hankyung.com/apps/news?popup=0&nid=10&nkey=2009112400730000301&mode=sub_view
    (카이스트 출신 퀀트)

    제 개인적인 소견이지만 가장 예측하기 힘든 금융쪽에서 수학이 통한다면

    정말 수학이 세계를 지배하지 않을까라는 (인간의 심리도 예측할 수 도 있고요)

    생각이 듭니다.



이번 학기 강의를 모두 종강하였다.


두 강의 중 하나는 복소해석학이었고, 이 강의는 강의를 개설하는 것을 깜박하는 실수가 있었던 관계로 학기 시작할 때즘해서야 개설했었다. 덕분에 수강신청한 학생들 수가 10여명에 불과했고 결국 12명의 학생이 끝까지 수강을 마쳤다.


보통 강의를 하면 학기 중간쯤 되어서는 학생들의 1/3 이상이 수업을 따라오지 못하는지 재미가 없는지 강의에 들어오지 않는다. 조금 심한 강의는 반 이상이 포기하는 듯한 모습을 보인다. 그런데 이번 복소함수론은 낙오자가 거의 없어보였다. 신기하게도 마지막 수업시간에도 출석 12명으로 수업을 마쳤다. 이런 적은 없었는데, 이후에도 쉽지 않을 것이다.


복소함수론 강의는 어땠는가? 학기초에 강의를 계획했던 것처럼 Noguchi의 교과서를 따라서 나갔다. 그런데 자세히 읽어보니 Noguchi는 학부에서는 조금 어려운 교과서임에 틀림 없었다. 물론 우리가 학생 때 사용했던 Silverman의 내용도 만만치 않았었지만... 그러나 초반에 나오는 평면의 위상과 멱급수power series의 이론을 조금 자세히 보다 보니 시간이 많이 흘러버렸다. 그래서 멱급수의 후반부는 조금 빨리 마치고 겨우 복소미분에 들어갔다. 원래 계획은 residue의 정리는 이야기했으면 했지만, singularity에도 들어가지 못하고 끝났다. 겨우 한 것이 코시의 적분정리와 적분공식, 모레라의 정리 정도이다.

하지만 Fujimoto의 교과서를 잠시 참조하면서 \( \partial/\partial\overline{z} \) 에 대한 공식도 다루었다. 이것은 보통 교과서에서는 찾기 힘든 것이다.


다음 학기 복소해석학 강의는 어찌될지 잘 모른다. 학교에서는 10명 이상의 학생이 수강신청을 해야지만 과목을 열어준다. 이 12명 가운데 졸업하는 학생도 있고 하니 10명을 유지할 수 있을까? 물론 다음학기에 수학사 강의를 계획하고 있어서 결국 기하학개론과 함께 3개의 강의를 계획하고 있는데 벅찬 강의 스케쥴이기는 하다. 열렸으면 하는 마음과 너무 힘들까 하는 마음이 교차하는 학기이다.


이와 함께 강의했던 집합론은 반학기 집합론과 반학기 거리공간 이론을 공부했다. 집합론을 줄인 이유는 조금 어렵고 논리적인 부분을 희생하고 실수의 구성과 그 위의 수렴 이론을 더듬어봄으로써 해석학 공부에 도움이 되고 또 공부한 집합론의 위상 이론에의 활용을 맛본다는 의미를 가지고 있다. 실제로 이런 방향으로 바람직한 결과를 얻었다고 생각된다. 교과서인 Munkres의 Topology는 집합론 부분이 약간 이상하게 쓰여 있지만 직관적이라는 점에서는 높이 살만 하고, Spanier의 1955년도 강의록은 매우 요약되어 있지만 꼭 필요한 것만 있다는 점도 좋다.이렇게 연계된 강의록을 하나 쓰는 것도 좋겠다. Spanier의 강의록이 원래 이런 형태이지만 이것은 이미 50년이 넘어서 조금은 구식이고 너무 형식적이기 때문이다. (그래도 내용만은 최고라고 아니할 수 없다.)


다음학기 강의는 앞에 말한대로 기하학 개론, 복소해석학, 그리고 특강으로 동양수학사를 할 예정이다. 복소해석학 부분은 어려워지는 부분이고, 동양수학사는 처음하는 강의인만큼 신경이 쓰인다. 내가 재미있으니 학생들도 재미있었으면...


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  • Favicon of https://progress.tistory.com progress 2012.06.17 13:24 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저는 학부 3학년 때 Brown과 Churchill의 Complex Variables and Applications으로 공부했는데 계산이 많이 나와 정말 재미있게 배웠던 기억이 납니다. 이번 학기에 다루지 못하셨다는 레지듀 이론도 기억이 나는 것 같습니다. 그리고 가르치는 선생님의 'z' 발음이 좋았는데, 특히 필연적으로 자주 나오게 되는 수식 표현 'z → z_0'를 '즤가 즤 제로로 갈 때'라고 읽을 때면 세번 등장하는 'z' 발음이 매우 좋았습니다. ^^;

    • gromob 2012.06.18 19:39  댓글주소  수정/삭제

      Churchill을 공부하면서 계산이 많아서 재미있었다는 말씀은 매우 특이하게 들립니다. 대부분 계산이 많으면 싫었다고 하는데... 또 z 발음을 잘 하는 교수님이라면 정말 드물다고 밖에는 할 수 없겠는데요. 혹시 꿈속에서...^^. 어쨌든 20세기 수학의 정수를 담고 있는 복소함수론을 좋아하신다면 지금이라도 수학 공부를 계속 하시는 것은 어떨지. 20세기 후반에는 다변수 복소함수론이 대세였습니다. 이제는 이것도 한 물 간듯 더 복잡한 이론이 주도하는 수학계입니다만...

  • Favicon of https://progress.tistory.com progress 2012.06.18 22:46 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저는 (증명에 약해서) 계산이 많은 게 좋더라고요. 수업 초반에 연습문제가 나오면 따로 말하지 않더라도 홀수 번 문제를 풀어 리포트로 제출하기로 선생님께서 지시했는데, 답이 맞는지 틀렸는지 알지는 못하지만 꼬박꼬박 해갔습니다. 이 수업에서 카운터클락와이즈나 w.l.o.g. 같은 단어도 배웠습니다. 트루타입 폰트와 포스트스크립트 폰트의 외곽선 진행 방향의 차이를 비교할 때 카운터클락와이즈라는 단어가 나올 줄이야 누가 알았겠습니까. ^^;

    • gromob 2012.06.19 09:08  댓글주소  수정/삭제

      계산이 증명인 과목이 있고요, 그림이 증명인 과목이 있는데요. 그니까 해석학이나 대수학 쪽을 공부하시면 추상적인 증명도 사실을 계산을 잘 하는 거라고 생각됩니다. 그리고 제가 하는 미분기하에서도 사실은 계산만 잘 하면 되는 그런 부분이 절반은 되는듯 하고요. 역시 수학을 잘 할 수 있는 자질이 충만한 분이셨군요. 그런데 트루타입과 포스트스크립트의 외곽선 방향이 서로 반대인가보죠?
      저는 WLOG를 보면 W가 with인지 without인지 하는 생각이 든다는...

  • 2018.01.02 23:09  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

한 두 주일 전에 미국에서 소포가 왔다.

미국에 주문했던 중고책 몇 권이 들어 있었다.

이 책은 amazon이나 alibris를 통해서 찾아 주문했었다.

이 가운데 한 권의 책은 어딘가에서 좋은 책이라고 해서 주문해 보았다.


제목은 Calculus of Variations이고 Gelfand와 Fomin의 책이다.



이 책은 아마도 20세기 중엽에 중요한 역할을 했을지도 모르는 책이고 이보다 조금 일찍 구입한 Lanczos의 Variational principles of mechanics라는 책도 여러 군데서 언급하는 유명한 책이다. 이 책은 수학의 이론 부분에서 잘 해설한 조금은 짧은 책이라고 하겠지만 Lanczos는 응용을 염두에 두고 쓴 책이라고 보인다.

(요즘 Springer의 Grundlargen? 시리즈에서 나온 Calculus of Variations 책으로는 두꺼운 2권짜리 책으로 순수이론을 총망라한 편미분방정식 책이 있다.)


Lanczos를 보면서 느끼는 점은 20세기 중엽의 책으로 보기에는 상당히 편안하게 쓰여있고 내용도 깊게 들어가지 않는 듯하다. 물리적인 문제도 들고 계산도 보여주면서 나가서 기초적인 변분학 내용을 익힐 수 있게 쓰여져 있는 듯하다. (아직 한 번 들쳐본 정도라서 잘은 모른다.) 이 사람이 쓴 Applied Mathematics 책도 이와 비슷하게 너무 이론적인 것에 치우치지 않았다. 그래서인지 이 책이 여러 공학자, 물리학자 등에게 읽히고 그런 논문에 refer되는 것 같다.


이렇게 구입하는 책들 가운데 상당부분은 미국의 지방 대학 도서관이나 public library에서 소장하고 있던 것을 방출한 것이다. (Released 도장이 찍혀 있는 적법하게 방출된 copy이다.) 더 이상 둘 곳이 없고 읽는 사람도 없다고 생각되어서 방출한 것일 것이겠지 싶다.


그런데 우리나라 입장에서 생각해 보면 우리는 이런 책이 꼭 필요하다. 현재 산업과 기술이 발전하는 단계에 있는 우리 수준에는 초보적인 연구 기반을 구축할 때라고 보인다. 비록 S사가 세계적인 상품을 생산하고 있지만 그 뒤를 받치는 기초적 연구는 아직 초보단계이다. 이럴 때 꼭 필요한 수학적 지식은 이런 책에 들어있는 것처럼 조금은 낡은 그리고 조금은 쉬운 수학일 것이다. 그리고 공대에서 공학을 공부하는 사람들이 이런 이론을 알아야 하겠지만 분명히 제대로 배우고 있을 리가 없다. 공대 교수님 중에 이런 수준의 강의를 제대로 할 수 있는 분은 많지 않고, 수학과에 와서 듣지도 않으니까... 


선진국은 필요 없다고 버리지만 우리는 꼭 필요해 보여서 버리는 책을 사고 있는데, 사실 이런 것이 제대로 기반이 되려면 우리 말로 쓰여져 있어야 할 것이다. 다시 번역 내지는 교과서 논리로 돌아가게 되겠지만 이런 것들을 얼마나 accessible한 형태로 만들어 두는가가 다음세대의 발전을 위해서 중요할 것이다. Calculus of Variations 없이 응용수학이 나아갈 수 없을것이고, 지금은 그럭저럭 해나가고 있지만 조금 있으면 산업체에서 이런거 잘 하는 사람 없나 하고 찾는 것이 당연해 보인다. 우리나라에 준비되지 않으면 이런 것은 외국 사람을 불러서 시키는수 밖에 없는데, 지금 교과부의 생각이 이런 것이라면, 글쎄 과연 이런 식으로 기반되는 이론을 얼마나 받쳐줄 수 있을지도 모르겠고, 결국 우리나라에는 이 결과로 남는 end 기술만 있고 이를 개발하는 능력은 영원히 정착하지 못할지로 모른다는 생각이 든다. 


늦었어도 빨리 대비하는데는, 특히 현재의 부족한 인력으로 감당할 수는 없으니 지금 공부하는 세대가 빨리 진입할 수 있게 하려는데는, 쉬운, 하지만 핵심을 짚는 책이 필수이다. Gelfand와 Fomin의 책은 이런 것을 할 수 있게 쓰여진 듯하다. 응용문제는 별로 없지만 본론의 핵심이 무엇인지를 쉽게 쓰고 있다. (러시아의 수학 책의 특징이라고 하겠다.) 이런 것과 Lanczos와 같은 이론 문제 해설서 정도를 가지고 있으면 어떤 문제집을 가지고와도 해결할 수 있는 준비가 되지 않을까?



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  • 박상빈 2012.05.03 02:39  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    우리나라도 이제 설계도 받아서 대충 해석해서 짓는 게 아니라 고유의 원천기술을 개발할 수 있어야 하는데 가슴이 아픕니다. 쉘이나 GE는 라이센스 팔아서 앉아서 돈 버는데 우리나라는 서로 제 살 깎아먹으면서 플랜트 수주하고 파견나가서 고생은 고생대로 하고... 꼭 필요하다고 생각합니다. 원천 기술, 라이센스(쓸모 있는)....

    • gromob 2012.05.05 12:29  댓글주소  수정/삭제

      전반적으로 정책입안자들이 너무 급합니다. 예전 (아마도 제가 박사를 받고 들어온지 얼마 안됐을 때인 1990년 경)에도 수학은 필요하면 외국사람을 불러 쓰면 된다고 생각하는 윗분들이 있다고 들었습니다.

      이분들 생각은 아마도 수학은 투자해서 그 결과를 얻어내는데 사람은 많이 필요하고 시간은 오래 걸리니까 그렇게 생각할 수도 있겠지만 하고 넘어갔는데, 요즘은 수학 (응용수학)이 곧바로 산업체에 쓰이므로 이렇게 넘어갈 수가 없습니다.

      특히 수학은 워낙 넓어서 수학자가 많이 있어야 문제를 풀 수 있는 사람도 생기지만, 반대로 수학자를 양성하는데는 인력양성에 드는 비용 외에는 실험실이나 그 밖의 돈 많이 드는 것들이 필요없기 때문에 굉장히 효율적인 투자라고 생각되기도 합니다.

      아마도 정책입안자들은 이런 것을 잘 모르고, 이를 보좌하는 사람들 중에 수학자가 없는 것이 문제일 것이라고 생각됩니다.

  • 박상빈 2012.05.05 22:25  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    현재 저는 새로운 형태의 석탄화력발전연구를 하는데 수학없이도 해석도 잘하고 논문도 쓰고 있습니다. 하지만 남들이 하지 않았던 논문주제나 연구주제가 떠오르면 앵무새가 된 기분이라고나 할까요? 앵무새가 따라하는 건 잘하지만 자신의 생각을 표현하지는 못하잖아요. 문제는 앵무새라도 SCI논문을 쓸 수 있고 발전소를 지을 수 있다는 거에요. 하지만 앵무새가 사람이 될 수는 없죠.
    앵무새는 웁니다 ㅠ.ㅠ

  • 박상빈 2012.06.09 19:02  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    원서는 확실히 아마존에서 구입하는게 나은 것 같습니다.
    교보문고에서 파인만의 강의 3권세트를 21만원에 파는데, 아마존에서 사니 배송료 합쳐서
    9만 5천원에 살 수 있었습니다. ;;;

최근에 웹페이지에 수식을 표현해주는 방식에 변화가 생겼다.
지금까지 내가 사용했던 방법은 시스템에 \( \rm\TeX \)이 깔려있는 데에 위키를 설치하고 거기서 \( \rm \LaTeX \) 이 가능하도록 하는 것이었다.

그런데 MathJax라는 것이 생겼네...

어떤 친구가 html(?) 안에서도 글꼴의 위치를 잡아주고 글꼴을 원격으로 받아오는 Java script를 만들어서 텍의 명령을 알아듣도록 해준 것이다.

우선 춉 사부의 가이드를 따라 이 스킨의 head에 한 줄을 첨가하고 돌려본다. (사부의 페이지 링크: http://chof.tistory.com/1 )

다음 수식이 제대로 보이면 성공하는 것이다. 수식때문에 wordpress의 블로그로 옮길까 하는 것을, 전혀 심각하지 않게(!), 고려하고 있었지만 이대로 잘 된다면 티스토리도 괜찮지 뭐...

수식 테스트

\[ \int_{\Omega} d\omega = \int_{\partial\Omega} \omega \] 

스토크스의 공식.


블로그 이미지

그로몹

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