페북 수학그룹에 올라온 질문 중에 "고교 수학 교육과정을 따라가며 힘들거나 아쉬웠던 부분"에 대해 질문한 것이 있다. 많은 사람들이 대답을 해서 댓글이 많이 달렸는데 댓글마다 여러 이야기가 있다. 이 중의 몇 개에 대한 댓글을 여기다 단다. (순서는 대략 댓글 순서다.)


기하에서 보조선 긋기 기하에 보조선을 긋는 방법을 설명해 주지 않아서 답답하다는 것이 여러 사람이 느끼는 것일 것이다. 기하의 보조선 긋기는 왜 중, 고등학교에서 배우는가 하면 이렇습니다. 이것 자체는 우리가 실생활에 꼭 필요한 것은 아닙니다. 우리가 논증기하와 보조선에 의존하는 기하를 배우는 목표로 2차원, 3차원 공간지각능력을 키우는 것이 매우 중요하기는 합니다. 그러나 이것 뿐이 아니라 더 중요한 것이 있습니다. 이는 꼭 필요한 능력을 키우는 와중에 수학에서는 하나의 완성된 이론의 전범을 보여줍니다. 

   그러니까 기하를 배우면 몇 가지 기본되는 정의, 정리 등을 배우는데, 이것을 실제에 활용하게 되면 정리만으로는 불충분하고 실제 문제를 다루는 법을 익히게 됩니다. 이 다루는 법이라는 것은 한두 마디 말로 설명할 수 없고 실제로 사용하는 사람들을 보면서 스스로 터득해야 되는 것입니다. 그러니까 기하를 빌미로 수학이란 이렇게 공부하는 것이라는 것을 한 번 보여주고 싶은 것인데, 이론과 공식만 가지고 사는 것이 아니라 이것을 적재 적소에 아이디어를 내서 적용하는 것이 진짜 공부하는 것임을 잘 볼 수 있는 쉬운 수학이 기하이기 때문입니다. 

보조선 하나 찾기가 이렇게 어려운데도 이것이 쉽다고 말하는는 것은 이것은 그래도 눈에 보이는 대상이고 문제니까 답을 알면 자기가 무엇을 하고 무엇을 못하는지 알 수 있으니까 그런 것이지요... 그래서 쓸데 없어보이는 문제더라도 꼭 한 번 가르치고 싶은 것입니다. 혹시 배운 것을 써먹는 방법을 익혀야 한다는 것을 더 잘 알 수 있는 과목이 생긴다면 아마도 기하는 교육과정에서 없어질지도 모릅니다. 요즘 중요해지고 있는 내용은 이산수학과 기하학입니다. 이 과목에서도 몇 가지 공식만 배우는 것은 아무 쓸모가 없습니다. 헤매면서 이런 도구를 어떻게 쓸 수 있는지 알아내는 것이 꼭 가르치고 싶은 것이지요. 대학에서 보조선 긋는 문제 필요없다고 안가르칠 그런 문제가 아닌 것이지요.


솔루션 매뉴얼 솔루션 매뉴얼 없이 공부하는 것이 가능한가? 하고 질문한 사람이 있었다. 당연히 가능합니다. 우리가 공부할 때는 솔루션 매뉴얼 하나도 없었어요. 책의 뒤에 홀수번 답조차도 없었지요. 그래도 다 공부하고 잘 했습니다. 내가 솔루션 매뉴얼을 잘 활용한 한 번은 대학원 학위 자격시험 때였습니다. 그 때 이것을 써 보고 시험을 위한 준비, 그리고 주어진 내용을 짧은 기간 내에 일정한 수준까지만 정말 잘 이해하려면 솔루션이 아주 효과적이라는 것을 알게 됐습니다. 학교에서 시험을 잘 보려면 솔루션 매뉴얼을 잘 활용하는 방법이 있습니다. (그냥 보고 외우는 것은 별 도움이 안 된다.) 그러나 제대로 수학을 이해하는 데는 이것은 별로 좋지 않습니다. 자기만의 생각으로 설명해 내는 연습을 많이 해야 합니다. 솔루션을 참고하지 말라는 선배가 조금 있다는 말은 아직 잘 모르는 것이지요. 수학을 제대로 배우고 연구하는 사람은 모두 그것을 사용하지 말라고 할 것입니다.


증명 증명을 제대로 하지 않고 풀이법만 가르치는 우리 현실을 지적한 댓글도 있다. 물론 한 가지만 가르치는 것은 나쁘지요. 증명에 대해서 이야기한다면 증명은 몇 가지 효능이 있습니다. 우선 증명은 논리적으로 완벽한 하나의 체계를 갖추는 방법입니다. 이것도 없으면 제대로 하는 것이 아닙니다. 둘 째, 증명을 따라가면서 내용을 머리 속에서 그림으로 그릴 수 있다는 장점이 있습니다. 뭔지 알 수 없는 것을 이해하는 데 증명을 따라서 이해하는 것도 한 가지 방법입니다. 셋 째, 내가 생각하는 것이 맞는지 확인하는 방법으로 증명이 효과적입니다. 내 생각에 빠진 틈은 없는지 보려고 하면 증명해 보다가 찾을 수 있습니다. 증명은 수학에서 한 가지 방편이고 전부는 아닙니다. 수학을 이해하는 데는 계산도, 그림도, 응용문제 풀이도 모두 중요하다. 물론 증명이 중요합니다.


교과서 "학생들의 why를 해결해 줄 수 있는 완벽한 교과서를 보고 싶어요."라고 했고 물론 그 댓글에 완벽한 교과서란 없다고 누군가 말했지만... 왜에 대해서 답하지 못하는 수학은 물론 문제가 많은 것이지요. 만족할만한 답을 할 수 없는 이유 또한 어쩔 수 없는 것이지만요. 만족할만한 답은 그 내용을 다 알고 이해하고 난 다음에야 있는 것이니까요. 단지 충분한 동기를 주는 것은 중요합니다. 시간이 문제지요.

   교과서가 이런 역할을 못하는 것에 대해서는 역사도 조금 봐야 합니다. 우리나라가 일본의 손에서 벗어나서 우리가 가르치게 됐을 때는 우리나라가 너무 경제적으로 열악해서 교과서를 사서 볼 수 있는 사람이 거의 없었지요. 그래서 나라는 교과서를 정말 싸게 보급하기로 했습니다. 그런데 책이 너무 두꺼우면 책값이 비싸지므로 책의 분량을 제한하기로 한 것 같습니다. 이것은 지금까지도 이어져서 고등학교 수학교과서는 몇 쪽 이내로 쓴다 하는 제한이 있지요. 대신 교과서 값은 정말 쌉니다. 이제는 선택해야 하지요. 미국처럼 수백쪽이나 천쪽이 넘는 책을 만들고 돈을 좀 내도록 할 것인지...


교육과정 새 교육과정에서 구분구적법이 빠진다거나 수열의 극한 없이 함수의 극한을 배운다거나 하는 것은 물론 여러 가지 이유를 가졌을 것이고 댓글에 언급한 이유도 있을 것입니다. 특히 이것이 없으면 나중에 여러 가지 분야에서 수학을 사용할 때 개념적으로 문제가 생길 수도 있습니다. 그런데 이것을 안 배워도 논리적 문제가 없는가 하는 것은 꼭 문제가 되는 것은 아닙니다. 지금까지 우리가 배운 수학도 수학을 전부 배운 것은 아니니까 필요한데 모르는 것이 많았지요. 새 교육과정이 무엇인가 조금 빼도 그런채로 공부한 다음 필요한 것은 스스로 알아서 처리하면 되는 것은 맞지요... 새 교육과정에서 문제인 것은 뺀 것은 그렇다고 해도 이것이 새로운 내용이 더 들어가야 해서 예전 것에서 몇 가지 빠지는 것이 아니라는 것입니다. 즉 배우는 내용이 줄어드는 것이지요. 그런데 이것보다 더 중요한 것은 빠지는 것이 체계적이지 못하다는 것입니다. 3차 교육과정 정도에서는 하나의 완벽한 체계로서의 수학을 가르쳤습니다. 비록 이 대부분이 미국과 일본의 체계를 적절히 조합한 것일지라도 그 체계는 매우 훌륭했는데요. 지금의 교육과정은 이런 체계는 무시하고 수준만 맞춘 이상한 것으로 바뀌고 있습니다. 

   예를 하나만 든다면 맨 처음 교육과정에서 빠지게 된 "원순열"이란 것이 있습니다. 이것은 물건들을 동그랗게 늘어놓는 방법의 개수를 세는 것인데요. 특히 염주순열이라고 빨간 염주 몇 개와 하얀 염주 몇 개를 이어서 동그란 목걸이를 만들 때 나타나는 모양의 개수를 세는 문제가 복잡합니다. 염주순열이라고 불렀던 듯합니다. 이 문제가 왜 있는가 하면 경우의 수(합의 법칙과 곱의 법칙)를 배우고 기초적인 공식인 순열과 조합을 배우고 나면 이것을 현실에 활용하는 방법을 가르쳐줘야 합니다. (그러니까 기하에서 보조선 긋는 것에 해당하지요.) 이 모든 것을 한 문제에서 보여줄 수 있는 것으로 염주순열이 아주 적당합니다. 경우를 조금 나눠야 하고 각 경우에 개수를 세는 것은 공식을 사용할 수 있고, 세기의 기초가 되는 도형을 활용합니다. 그러니까 아주 훌륭한 연습문제입니다. 그래서 순열, 조합 단원의 맨 마지막을 장식하는 단 한 문제였지요. 이 문제는 당연히 앞의 다른 문제보다 어렵습니다. (이것은 기하에서 단순한 삼각형의 각의 계산 같은 것보다 보조선 긋는 문제가 어려운 것과 똑같지요.) 이것을 빼면 순열, 조합 단원이 절름발이가 되는 것입니다. 꼭 마찬가지로 삼각형, 사각형 평행선 다 배운 다음에 보조선을 하나라도 학생이 그려야 하는 문제는 못 물어보는 것과 똑 같습니다.

   제가 보기에 염주순열을 뺀 사람은 염주순열이라는 좋은 말이 있어서 요것만 빼자 한 듯이 느껴집니다. 기하에서는 보조선 긋는 문제에 다른 이름이 없어서 빼지 못하는 것이 아닐까 생각이 듭니다. 대신 기하에는 다른 말을 하지요. 기하 문제는 전부 어려워서 기하를 모두 빼자는 말을 하는 사람이 있는 것 같습니다. 왜 이런 생각을 하는 것인지 이해가 안 되는 것이 정상이지요.


학원 고등학교 수학을 학원가지 않고 스스로 공부하면 제대로 할 수 없을 것 같다는 말을 한 사람이 있다. 당연하고 또 그렇지 않기도 합니다. 문제는 짧은 시간(예를 들면 2년) 안에 우리나라 입학 시험에 합격할 만큼을 하려면 누군가의 도움이 있어야 한다는 것입니다. 우리 교육과정은 무엇이 문제인가? 외국은 어떻게 하는가? 하고 생각해 보지요. 고등학교 공부는 교과서와 문제집 가지고 혼자서도 공부할 수 있습니다. 시간이 문제입니다. 외국에서는 수학을 잘 모르겠으면 조금 못한 (어떤 때는 많이 나쁜) 대학에 들어가서 천천히 수학을 공부해도 됩니다. 고등학교도 1년 더 다녀도 됩니다. (반대로 빠른 사람은 2년에 졸업해도 됩니다.) 우리나라에서 이것이 안 된다면 (학교가 하게 해 줘도 안된다면 이란 뜻입니다) 그 이유가 무엇인지 생각해 봐야 합니다. 이것은 수학이 해결해줄 수 없는 것이지요. 적어도 나중에 취직할 때 고등학교 1년 더 다녔다는 것이 문제되지는 않는다는 것을 저는 압니다. 저라도 그런 것은 문제삼지 않을겁니다. 일을 잘 하는가가 관건이지요. 


엄밀하지 못한 강의 "미적분 정의도 모르고 공부했다"고 불만인 사람도 있다. 이 문제에 대해서 선생님은 대학에 가서 배운다고 설명해 주지 않았다고 하는데, 이에는 두 가지 면이 있지요. 우선 입시 문제를 풀기 위해서, 특히 많이 이론적으로 어렵지 않은 선다형 문제라면 생각을 많이 하면 점수에는 불리합니다. 그래서 선생님이 내용을 많이 또는 제대로 설명하지 않으려는 부분이 있습니다. 또 하나는 수업 시간이 많지 않은데 제대로 된 설명과 "왜"에 대한 질문 대답 등은 많은 시간을 잡아먹기 때문에 선생님들이 이를 잘 안 하려는 것입니다. 또 이러다 보니까 선생님들이 잊어버리고 잘 모르게 되기도 하지요. 하지만 수학을 제대로 익히려면 이런 질문이 중요하고 이를 설명해 주는 많은 예와 반례를 알아보는 것이 중요하지요. 이 과정이 실제로 문제 풀이와 연계되는 것이고요. 그런데 현재 우리 수업은 이런 것이 불가능합니다.


수1의 어려움 고등학교 후반부의 미적, 기벡 등에 비해서 수1 부분이 더 어렵게 느껴진다고 말하는 사람이 있다. 이것은 하나도 이상한 것이 아닙니다. 수1 부분은 보통 대수와 기하라고 하는 기본 사고 및 계산 방법입니다. 어떻게 보면 이것은 아무리 오래 공부해도 더 공부할 것이 있는 부분입니다. 우리 같은 수학자가 평생을 공부해도 계산방법은 극히 일부밖에는 모를 정도이죠. 그러니까 익숙해져서 쉽게 계산을 활용하고 그림을 머리에 그릴 수 있게 되려면 많은 연습이 필요합니다. 오히려 미적분은 몇 가지 계산방법만 배우면 고등학교 수준에서는 더 생각할 것이 없죠. 즉 미분가능한 함수를 미분하는 것은 아주 쉬운 문제입니다. 적분에서도 치환적분과 부분적분을 다룰 수 있게 되면 충분하고 이조차도 대부분 수1 식의 계산이 복잡해서 잘 못할 뿐이지요. 

   미적분이 수1 보다 더 고급 수학인 이유는 모든 점에서 미분이 가능하지는 않은 함수들을 다루다 보면 아주 복잡해서 머리 속에 그림을 그리기 어려운 것들이 나타나고 이것을 잘 알아내기 위해서 많은 계산을 해 봐야 하는 문제가 나오기 때문이죠. 이것은 대학 수학을 다 공부해도 여전히 어려운 문제이고요. 심지어는 어려운 적분을 모두 잘 이해하는 것보다도 더 어려울 때가 많아서 미적분이 수1의 내용보다 더 나중에 개발되고 아직도 이론을 연구중인 이유이지요. 고등학교는 미적분 문제에서 한계를 딱 지어 놓았으니까 어렵지 않지요. (수1 부분은 한계가 없어요. 1700년대까지 계산하던 내용이므로 고등학생들은 이것을 모두 잘 알 수 있어야 한다는 것이니까요.)


문제의 유형 시험문제가 유형 위주로 되어 있는 것이 싫다는 답글이 있었다. 문제를 풀 때 처음 본 문제라고 생각하고 풀면 시간이 많이 걸리는 문제를 내고 유형에 따라 생각하지 말고 풀라는 것은 요즈음 고등학교 문제들이 가진 가장 나쁜 문제점이다. 이 교과과정의 내용을 결정하는데 결정적인 역할을 하는 분들이 수학 문제를 이렇게 푸는 것이라고 생각하고 있는지 모르겠다. 그래서 유형에 따라서 답을 찾을 때 간단하게 적히는 (정답지만 봐서 몇 줄 안되는) 문제가 쉬운 문제라고 생각하는 듯하다. (선생님들은 이런 문제만 가르친다면 선생님 스스로 생각하고 스스로 공부할 필요가 없어지니까 일이 쉬워진다.) 하지만 이런 문제를 처음 보는 문제라고 생각하고 들여다보면 정말 많은 생각을 하게 된다. 이 문제들이 결코 쉽지 않은 문제라는 뜻이다. 이런 문제를 짧은 시간에 풀라고 하면 어쩔 수 없이 유형별 풀이법을 생각없이 (이것도 이유를 생각하면 시간이 많이 뺏긴다) 풀어나갈 수밖에 없다. 교육적으로도, 나라의 경쟁력을 생각해도 가장 나쁜 교육의 표본이다. 단지 행정하는 사람들만 교육의 문제들을 설명하는데 드는 노력이 없어 편한 것이 아닐지?


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안그래도 미래를 계획하는 공부를 하고 있는 중이다. 필요한 일이 있기도 하다. 요즘 읽어보는 글들을 보면 미래를 사는 사람들은 자신의 생애에 평균 10번도 넘게 직업을 바꿀거라고 한다. 어떻게 그런 예측을 하는지 잘 모르겠지만 지금 추세대로라면 그런 일이 벌어진다고 놀라지 않을 듯하다. 그런데 수학을 가르치면서 보면 요즘 학생들은 꼭 필요한 공부만 쏙 빼놓고 하고 있다는 느낌이 든다.


미래를 살려면 무엇을 알아야 할까? 미래에도 수학공부를 해야 하나? 미래에 잘 산다는 것은 어떤 것일까? 이런 질문을 해 보지만 알 수 있는 것은 하나도 없다. 페북에서 본 어떤 미래학자가 이야기한 것처럼 지금은 사회가 대대적으로 변하는 변혁기이다. 아마도 르네상스가 시작하던 시기, 산업혁명으로 정신없던 시기, 조선이 생기던 시기, 조선 말기의 혼란기, 6.25를 지나고 정신없이 일하던 시기보다 더 심한 변화가 생길 것 같다.


전공이 수학이라 "미래에도 수학공부를 해야 하나?" 하는 질문은 자주 생각한다. 답은 yes와 no가 혼재한다. 본질적으로 생각안하고 살 수 있는가? 하는 것이 질문의 핵심이다. 생각을 해야 한다면 수학공부를 해야 한다. (수학은 생각의 핵심이다.) 혹시 생각하지 않고 살 수 있다면 공부는 안 해도 된다. 이 이분법이 마음에 들지 않으면 혹시 생각은 해야 하지만 뭔가 좋은 기계가 생겨서 대신 생각해준다면...? 하고 상상해 볼 수 있겠다. 모르기는 매한가지지만 혹시 200년쯤 후에는 이런 일도 가능하겠지만 아마 20년 정도 후에도 사람은 자기가 생각해야 할 것이 많을 것 같다. 


그러니까 good news인 no라는 답 부분은 지금 공부하는 수학은 많이 안 해도 될거 같다는 것이고, bad news인 yes라는 답 부분은 지금 수학은 필요 없지만 다른 수학이 나타나서 나를 공부해라 할 것 같다는 것이다. 지금 공부하던 수학은 어떻게 되는가? 또 잘은 모르지만 이런 것을 생각해 보면 어떤가? 그러니까 요즘 나오는 컴퓨터 프로그램들은 예전에 손으로 고생해서 하던 계산을 모두 시간도 안 걸리고 계산해준다. 틀리지도 않는다. 이런 것은 예전만큼 고생하며 익힐 필요는 없는 것 같다. 


예를 들자. 

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이런 생각을 하면서 지금의 공부 단계를 보자. 고등학교 1학년에 온 힘을 바쳐서 연습하는 것은 이런 다항식 계산이다. 그런데 그 원리와 작동 방식은 자주 봐서 잘 익혀나가야 하지만, 틀리지 않으려는 연습을 빼도 된다면 아마도 필요한 시간이 반도 안 될것이다. 그러니까 배울 수 있는 내용은 늘어난다. 예전에는 계산이 안 되는 사람은 미적분을 못 배운다고 생각했을 것이다. 하지만 꼭 그런 것은 아니다. 지금 나는 나이가 들어서 계산하면 항상 틀리지만 미적분은 학생 때보다 더 잘 알고 있다. 그러니까 계산을 꼭 알아야 하지만 미적분을 잘 알기 위해서 계산을 꼭 틀리지 않아야 하는 것은 아니다. 그러니까 미적분을 일찍 배울 수도 있다. 그리고 아는 사람은 다 알지만 미적분은 사실 별로 많은 것을 익히지 않아도 된다. 정말 많은 연습이 필요한 것은 다항식과 함수의 계산이지 미적분 개념이 아니다. 


미래를 보면 지금은 없는 여러 가지 새로운 직업이 난무한다. 이것들은 모두 창의적 생각이 가미된 직업이고 단순노동 (계산도 여기 포함된다) 같은 것은 안 해도 되는 직업뿐이다. 그러니까 물리적 단순노동은 로봇이 해주게 되고, 정신적 단순노동은 컴퓨터가 해 준다. 사실 고급 정신노동도 컴퓨터가 leaning을 가지고 해결해 주려고 하고 있을 것이지만 이것이 얼마나 믿음직스러운지는 확실치 않다. 적어도 지금은... 그러니까 생각을 제대로 하기 위해서 "수학적 생각" 방법을 연습하는 것은 매우 중요하지만 수학의 공식을 바로 쓰고 싶어서 그런 것이 아니라, 수학에 나타나는 정말 여러 가지 아이디어 가운데 한 가지씩 필요에 따라 뽑아 쓰고 싶은 것이다. 즉 미래를 사는 사람들은 정말 많은 수학을 알아야 할지 모른다. 내가 전공하는 리만기하학의 내용도 모두 다 알고 그 핵심인 접속connection이 어떻게 벡터장 같은 변화하는 물리적 양을 미분해주는지를 이해하고 있을지도 모른다. 단지 그것을 계산하라 했을 때 나타나는 텐서 계산을 손으로 하는 것은 안 해봐도 될 것 같다는 것이다. 이것은 이미 컴퓨터가 잘 한다.


이런 생각 끝에 상상되는 것은 미래에는 배우는 수학의 양이 늘어난다는 것이다. 단지 배우는 데 만 보면 시간은 훨씬 덜 걸릴 것이다. (계산 연습이 많이 빠지니까. 완전히 빠지지는 않지만...) 즉 지금 우리나라에서는 선행학습 금지당한 많은 것들을 겉핥기 처럼이라도 알고 나갈 것 같다. 그리고 그것을 잘 아는 것처럼 자유자재로 활용할지도 모른다. 컴퓨터의 도움을 옆에서 받으면서... 그리고 이런 능력을 가진 사람들, 특히 예술적 창의성을 적용하는 데, 그 대상이 지금은 박사를 받아도 들어본 적도 없는 수학 공식들이고 그것도 지금 한 명의 박사가 아는 내용의 10배나 100배를 자유자재로 활용하는 수준인 그런 사람들이 온 세상에 깔려 있는 세상이 상상된다면...? 이런 사람들을 키우려면 이제는 어떻게 가르쳐야 할까?


이런 사람이 되려면, 공부할 때 새로운 아이디어가 들어있는 이론에서 아이디어를 재빨리 파악하는 능력이 필요하고, 그런 기본적 구조에 컴퓨터의 계산력을 곧바로 적용하는 능력이 필요할 것이다. 그리고 이런 일 하느라고 매 번 컴퓨터를 기본 언어에서 부터 코딩하는 것은 말도 안 된다. 당연히 최 첨단의 언어, 모든 코딩이 다 구비되어 있는 프로그램에서 그 기능을 최대한 활용하여 시간이 걸리지 않고 이 복잡한 과업을 해낼 수 있어야 할 것이다.

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이 글은 길어서 본문을 파일로 올려둡니다.


간단히 서론만 다음과 같습니다.





페북에서 학생들 상대로 수학 공부의 필요성에 대해 설문조사한 기사를 보았다. 이 기사의 내용은 물론 이해되는 것이지만 거기 나타난 학생들의 의견은 물론 수학을 많이 공부해보지도 않은 것이고 또 삶을 살아본 다음에 하는 이야기도 아니므로 그렇게 중요하지는 않다. 단지 현장의 학생들은 수학 공부를 어떻게 느끼는가를 말해주는 정도이다. 물론 내가 공부할 때도 이거 어디 쓰는지 잘 몰랐지만 수학을 잘 하는 사람들을 많이 보고 그 사람들의 말을 믿기 때문에 나중에 중요하게 된다는데 의문을 가지지 않았다. 요즘 학생들이 더 빨리 비판적이 되는 것인지? 아니면 그냥 잘 못하니까 싫어서 하는 이야기인지? 잘 모른다.

이 기사에 댓글을 단 친구들 중에서 특별히 비교적 정확한 댓글을 단 한 친구의 글 가운데 ``가령 변호사/판검사가 되기 위해 수학 1등급을 받아야 하는건 분명 잘못되었다고 생각합니다.'' 라는 표현에 내가 딴지를 걸었다. 정말 그런가? 나중에 수학을 잘 안 쓰게 될 사람은 예를 들어 고등학교의 어려운 수학 같은 것은 배울 필요가 없는가? 특히 이런 것을 잘하는 것은 나중에 쓸모가 전혀 없으니까 시간낭비일까?

이 글에서 이런 질문에 답을 해 본다. 단지 내용 중에 대학 수학의 내용도 조금 있다. 읽는 사람의 이해를 돕기 위한 것이지만 모르는 사람들은 빼고 읽어도 될 것이다.


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Q: 저의 궁금증은 수학에서의 확률과는 거리가 있다고 생각합니다.

주사위를 던질때 나올수 있는경우 그 많은 결과를 어떻게 구하는가, 수학에서는 이상적인 주사위를 생각하여 주사위를 던질때 나올수 있는 결과는 단 6가지 로 만든다.
현실에서는 아주 많다.
그리고, 왜 주사위가 모서리쪽으로 꼿힐 경우는 왜 드문가 왜.
주사위를 던질때 왜 각각의 눈이 나올비율은 왜1/6에 가까이 가는가.

로 정리할수 있을 것 같습니다.

한번더 정리하면..

확률의 2가지 정의는 이러하다.

첫째, 특정 사건후 결과 특정 결과가 일어날거라고 기대할정도는 특정사건후 일어날수 있는 모든 경우의 수를 분모에 특정 결과가 일어날수 있는 방법은 분자에 써 구한다.

둘, 어떤 행위를 반복하면 동전을 던진다는지... 아주 많이 반복하면 일정한 규칙이 나타난다. 동전을 아주 많이 던지면 앞면과 뒷면이 나오는경우가 거의 같아진다.즉 아주 많이 반복했을떄 특정결과는 특정 비율에 가까워진다 주사위를 아주 많이 던졌을 때 1의 눈이 나온다라는 결과의 비율은 1/6에 가까워진다.

첫째 정의에서의 의문은 분모에 쓸 모든경우를 어떻게 구하는가(수학이 아닌세계에서 이상적인 주사위는없으니.. 분명 아주아주 많은 결과를 생각할수 있을 것이다.)

또 왜 특정 결과는 덜 나온다고 하는가. 예를들어 동전을 던졌을 때, 스는경우는 드무니 생략한다고 하는데 그게 왜 드문가. 수학의 세계에서는 이상적인 동전을 2차원 원으로 생각하여 의문을 빠져나가지만 수학이 아닌경우 어떻게 하는가.

A: 이 문제는 초등학교 수준의 질문은 아닌 것 같군요.

우선 확률의 문제는 조금 정리하고 생각하여야 할것입니다. 수학의 확률은 확률의 이론입니다. 이 경우는 확률이 무엇인지는 이미 알고 있는 상황에서 여러 확률 사이의 관계를 연구하고 이용하는 것이 수학의 확률이라는 것입니다. 따라서 여기서 물어보는 것과 같이 어떤 특정한 경우의 실제 확률이 왜 이러한 값인가 하는 것은 수학에서 할 질문이 아닙니다.

동전의 경우에 앞 뒷면이 나올 확률이 같다는 것은 아무도 알 수 없습니다. 수학에서는 이상적인 동전이라고 하여서 앞 뒷면이 나올 확률이 같은 동전이라면 하고 가정하고서 문제를 시작합니다. 이 때 또 동전이 설 확률은 영이라고 설정하고 합니다. 실제로 왜 그런가는 어떤 분의 말씀대로 물리학의 이론이 될 것입니다.

그러나 이것도 물리학의 이론일 뿐이고 실제 현상이 왜 또는 정말로 물리학의 이론과 맞는가 라고 물어보면 대답할 수가 없습니다. 따라서 실제로 해 보아서 확률을 찾아야 합니다. 그 방법은 통계를 쓰는 것인데... 실제로 동전을 많이 던져봅니다. 그러면 동전의 앞면과 뒷면이 나오는 경우는 반 반으로 되어 갑니다.
이제 이 동전을 던질 때 마다 앞면과 뒷면이 나올 확률은 (같을지는 몰라도) 일정하다고 가정합니다.(물론 이 가정도 실제로 맞는지 알 수는 없습니다.) 그리고 이러한 반복시행에서 앞의 결과가 뒤의 결과에 영향을 미치지 않는다고 가정합니다.(이것도 틀릴 수 있습니다) 그러면 이러한 반복시행을 할 때 그 횟수에 따른 확률이 1/2에 수렴하려면 원래도 그랬어야 한다는 것은 수학으로 알 수 있을겁니다.

이제 이러한 반복시행을 10000번 해서 앞 뒷면의 경우가 반반이라는 결론을 얻었다고 해도 이 사실만으로 계속해서 시행할 때 더욱 더 반반에 수렴하리라는 보장은 없습니다. 따라서 통계적으로 어느 정도의 유의수준 아래서 10000번의 시행 결과를 보고 그러한 결론을 얻을 수 밖에는 없습니다.

Q: 또 주사위를 던져 1의 눈이 나온다 1의 눈이 나오지 않는다로 생각하여 각각의 확률을 1/2로 생각할때의 문제점이 정확히 무엇인지 알고싶다.이에 대한 답변에 각각의 경우 가능성이 다르기 때문이다 라는 말을 들은적이 있는데 이렇게 단순히는 이해가 안간다.


A: 1이 나온다와 나오지 않는다 두 경우로 나눌 때는 이 두 경우의 확률이 서로 같다는 것은 어떻게 알 수 있습니까? 물론 주사위에서 1 - 6 까지의 눈이 모두 같은 정도의 확률로 나오는 것은 어떻게 알 수 있느냐 와 같은 질문입니다. 이 두 질문에 대해서 실제 주사위의 경우의 답은 알 수 없다 입니다. 실제로 위와 같이 실험을 하고 통계를 내 보아야만 근사치의 답을 얻을 수 있을 뿐입니다.

그러나 수학 문제에서는 공정한 주사위라고 가정하고 이야기 합니다.(아무 말도 없으면 공정한 주사위라는 뜻입니다) 이 경우는 1의 눈이 나올 확률은 1/6입니다.

(한편 실제 주사위의 경우에는 1이 나올 확률이 거의 1/2 이 되도록 만들 수도 있을겁니다.)

계속되는 질문과 답글도 함께 싣습니다.

우선 답변해주신점 감사드립니다. 사실 저도 그렇게 결론을 내리려 했는데 저혼자서 그랬다간 큰일날일 아닙니까 읽던 책도 덮어두고 답변만 기다렸는데 다행입니다.


Q: 저는 수학에서 실용성이란것에 대한 논의를 별로 좋아하지 않고 꼭 실용할수있지 않아도 상관없다고 생각하는 사람이지만 이 확률 이라는게 원래 실생활에서 유래한 걸로 알고있고있는데. 그렇게 이것저것 받아드리기를 요청하는 가정들로 채워있는 수학의확률이론을 받아드려야 할지 고민이군요. 실용은 상관없다해도 확률을 공부하며 무슨 지적 만족이라도 줄수있는지 의문이네요.

A: 수학의 이론이 아무리 추상적이라 하더라도 실용적이지 못하면 아무 소용이 없습니다. 물론 어떤 수학 이론은 아무도 실용적으로 사용하는 일이 없는 것 처럼 보이지만 그것도 나름대로 숨어있는 실용성이 있게 마련이지요.

우선 확률뿐이 아니라 어느 수학이론도 가정으로 채워져 있기는 마찬가지이지요. 보통 미적분학은 실수에 대한 많은 가정 위에 서 있고요. 미분방정식도 대수학도 모두 다 그렇습니다. (예를 들어 1+1=2를 실생활에서 사과를 하나씩 두번 먹으면 두개 먹는것이다 라고 활용한다고 할 때, 이 수식은 수학의 이론이고 현실의 사과 문제는 이 이론을 적용한 것이지요. 이 때 주어진 두 사과가 똑같지 않고 한 쪽이 좀 무거우면 두 사과를 다 1이라고 해도 되는 것인가 라고 하는 문제가 생깁니다.)

이 문제에 대한 수학의 견해는 1+1=2라는 식은 추상적인 개념으로서 수의 연산에 대한 성질이라고 이해하는 것이고 현실의 사과는 이러한 연산법칙을 적용할 수 있는 대상이라고 받아들일 수 있을 때 이 연산을 적용하는 대상일 뿐입니다. 이를 적용하여도 좋다고 생각되면 적용하는 것이고 적용하여 문제가 있다면 적용하지 않을 뿐이지 이 이론이 주어진 현실에 적용되지 않는다고 이론을 받아들일지 말지 할 것은 없습니다.

이는 마치 삼각형의 이론이 원에 적용되지 않는다고 삼각형의 이론을 받아들이지 않는다는 것과 비슷합니다.


Q: 확률이라는 가능성을 수치로 나타낸것이 수학의 세계에서 본질?을 잃지 않을지 고민입니다. 확률에 담긴 심오한 뜻 그게 수학의 확률이론에서는 전혀 반영되지 않는다고 봅니다. 죄다 가정에다가 더군다가 가정이 확률의 주춧돌의 하는 역할을 하는데.


A: 수학 이론에 반영되지 않는 심오한 뜻이 무엇인지 궁금하군요.


Q: 수학의 세계에서 이상적인 주사위를 던진떄 각각의 눈이 나올 확률은 1/6 이다. 양자역학에서 확률은 아주 유용하게 쓰이고 있는데 현실의 여러가지 물체에 영향을 주어서 특정 결과의 기대값을 구하는 작업을 그 물체와 생김새가 비슷한 수학적 대상으로 생각해서 수학의 세계에서의 확률을 현실세계에 그대로 쓰는경우.

그러니까 주사위를 위로 던지는 일을 하면 주사위는 반드시 아래로 떨어지고 1~6중 하나의 눈이 나올텐데 그걸 어떻게 구하냐면

주사위와 비슷한? 정육면체로 생각해 수학의 세계에서 정육면체를 던져서 여러가지 붙여놨으니 쉽게 확률을 구할테고 그 값을 실제 주사위를 던진 값으로 생각할것 같은데요


A: 확률이론이 이야기하는 것은 주사위를 던질 때 한 눈이 나올 확률이 1/6이라면 두 개를 던질 때 합이 5가 될 확률은 얼마얼마이고 또 연거퍼 던질 때 두 눈이 같은 확률은 얼마이고 등등이 성립할 수 밖에 없다는 인과율 뿐이지요.

현실이 이러한 문제에서 가정하는 여러 사실들과 어긋난다고 이 이론이 틀린 것은 아니고, 이 이론은 이러한 가정들이 성립할 때만 적용하면 되니까 문제 될 것도 없지요. (여기서 가정하는 것들은 주사위의 눈이 나올 확률은 시간이 지나도 변하지 않는다. 연거퍼 던질 때 앞의 결과와 뒤의 결과에 인과관계가 없다 는 등등입니다. 이것이 가정되지 않으면 어떠한 이론도 이야기할 수 없겠지요?)

이제 주사위를 던질 때 1-5까지의 눈이 나올 확률이 1/5이고 6은 절대로 나오지 않는다면(즉 그런 주사위가 있다면) 확률은 이 경우에 대하여도 두개의 주사위를 던질 때 두 눈의 합이 5일 확률을 계산할 수 있게 해 주고... 등등 모두 가능하게 해 줍니다.

위에 말씀하신 문제는 확률이론과는 별개의 문제로 에너지님이 생각하시는 주사위가 왜 앞의 주사위와 같은가 하는 것인데 이것은 확률이론이 어떻게 할 수 있는 것이 아니겠지요. 주사위 만드는 사람의 문제겠지요.


Q: 이렇게 못 믿음직한 확률이라면 물리학의 여러이론에 써먹는건 아주 위험한것 같은데. 물리학자들은 확률부터 제대로 정립해야 하는건 아닐까요

A: 따라서 확률 이론은 믿음직한데 이를 적용하는 사람들이 제대로 적용해야 하는 문제가 되지요. 확률이론은 이미 매우 정교하게 정립되어 있습니다.



Q: 주사위를 던지는걸 왜 정육면체를 던지는 걸로 생각해야합니까 정육면체를 던져야 그나마 비슷하게 통계수치가 나온다는 법이라도 있습니까

A: 주사위를 정육면체로 생각해야 한다는 법은 없습니다. 오히려 주사위를 만드는 사람들이 정육면체로 만들어야 모든 면이 나올 확률이 같으리라고 생각하고(확률이론을 이용하여) 만든 것일 뿐이지요. 정육면체면 나오는 면이 모두 같은 확률을 가질까요? 그렇지 않습니다. 한쪽을 무겁게 하면 그 반대쪽 면이 나올 확률이 높아지겠지요. 속에 자성을 띄게 하면 주변 자장의 영향을 받을 것입니다. 모서리를 너무 뾰족하게 하면 혹시 모서리가 바닥에 박혀서 모서리로 서게 될 지도 모르지요. 이런 모든 주사위를 가지고 게임을 할 때 나올 여러가지 확률을 알고 싶다면 ...?

확률이론은 이럴 때 각 면이 나올 확률만 알면 나머지 모든 것을 계산할 수 있다는 것을 말하고 있을 뿐이지 각 면이 나올 확률이 얼마인지는 이야기하지 않습니다.



Q: 그러니까 어떤 현실세계의 물체를 던져서 특정결과를 기대하는 값을 구할 때, 그 물체와 비슷하게 생긴 이상적인 수학적 도형을 생각해( 동전은 원 주사위는 정육면체) 그 것을 던지는 것으로 생각하는게 왜그런가 입니다 또 그게 정당한가도 의문이구요


A: 이상적인 수학적 도형을 던지는 것은 단지 말을 편하게 하기 위한 것일 뿐이고요 이상적인 수학적 도형을 던진다고 확률을 알 수 있는 것은 아닙니다. 정육면체를 던지면 각 면이 나올 확률이 1/6입니까? 알 수 없습니다. 위에서와 같이 무게분포가 어떤 정육면체인가 주변상황이 어떤가도 문제이고 모든 상황이 똑같아도 그럴 확률이 1/6인지 알 방법은 없지요.

수학문제에서 하는 이야기는 "만일 던지는 주사위(또는 정육면체)가 각면이 나올 확률이 모두 같다면" 이라고 가정할 때 다른 확률들을 구하라는 것이랍니다.


Q: 그리고 그 수학적 도형이 실제로 비슷합니까 주사위는 정육면체와 왜 비슷하며 정육면체가 가장 생김새가 가까운지도 의문이 됩니다. 게다가 모양이 아주아주아주아주 약간이 다른걸 던질떄 왜 확률이 아주아주아주 비슷할지도 의문이죠.


A: 물론 의문입니다. 이것은 물리학의 근본적인 문제이지요. 그런데 만일 그렇지 않다면 즉 상황이 아주 조금만 변해도 결과가 많이 달라진다면 우리가 믿고 이야기할 것이 하나도 없어진답니다. 즉 에너지님의 몸에 산소분자가 하나 더 붙으면 다른 사람으로 변한다면 매우 불안정하겠지요. 이사람이 됐다가 저사람이 됐다가... 따라서 어떤 이론을 적용할 수 있으려면 그 대상이 안정하다는 것을 알아야 합니다.(물론 이것도 가정으로 밖에는 이야기할 수 없지요.) 수학에서는 이러한 안정성을 연속성이라고 부릅니다. 즉 상황이 조금만 변하면 그 결과도 조금씩만 따라 변한다는 것이지요. 이러한 것이 깨지는 상황을 파국 또는 혼돈이라고 부르고요... 위에서 말씀하신 것에 대하여는, 물리에서는 확률이 그 대상의 함수로 보아 연속적이라고 가정하고 있습니다. 확률뿐 아니라 모든 좋은 대상들은 연속적으로 변화한다고 가정합니다.


Q: 그러니까 주사위던지는 거랑 그 주사위에다가 금원자 하나 붙여놓고 던지는 거랑 왜 별차이 없냐 이말이죠.그걸 또 물리적으로 바랑의 영향을 별로 막지 못하니 하신다해도

아직은 말할수 없지만 그래도 답답한 무언가가 있습니다.


계속 언급했지만

현실의 주사위가 이상적 주사위를 닮으면 닮을수록 이상적 주사위처럼 던졌을때 각각의 눈이 나올확률이 같아진다

설마 이것까지 가정한다면 할말이 없습니다.왜그렇죠.


A: 이것은 수학은 가정하지 않습니다. 그러나 물리는 가정할 것 같군요. 그 이유는 그것이 물리학이기 때문입니다. 물리학은 현실에서 수학적 모형을 뽑아 수학적 모형의 이론으로 현실을 설명하는 학문이기 때문입니다. 반면에 수학은 현실의 문제에 (이러한 의미에서) 어떻게 적용하는가는 관심이 별로 없습니다. 오히려 현실에 적용할 방법이 있어보일 때 사용할 수 있는 이론을 개발하는 것이 목표이지요. 즉 현실에 적용하는 방법을 찾는 것은 물리학이고, 적용할 이론을 찾는 것이 수학이지요.



글을 쓰면서 생각나는대로 써서 쓰고 나서 글을 제대로 읽을 수 있을지 걱정입니다 이해해 주시구요. 건방진 말투 너그러이 용서해주세요... 마지막으로 확률서적 추천해주시면 더 바랄게 없습니다.
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수학사랑의 라디안 논쟁이라는 글에 대한 답입니다.
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 수학사랑에 질문에 대한 답변

선생님의 의견을 잘 읽어 보았습니다. 약간 혼란스러운 점이 있지만 대체적으로 선생님의 의견에 공감하는 바입니다. 단지 아래 오뎅/조개님의 말씀과 같이 어려운 부분이 있는 점에 또한 동의하며 몇 가지 말씀을 덧붙입니다.

우선 오뎅님의 말씀과 중복되지만 다시 한번 짚고 싶은 것은 현행 교육과정의 교과서 분량은 이러한 역사적 사실을 동기로 삼는 설명을 하기에는 턱없이 부족합니다. 7차 교육과정에서 교과서 분량의 상한선을 많이 높였지만(아마 약 1배 반 정도가 아니었나요?) 이정도로는 이러한 설명을 넣을 수가 없습니다. 물론 라디안의 설명만을 넣는다면 몇 쪽 더 쓰면 되겠지만 그러면 다른 모든 부분과의 형평이 깨어지고, 모든 단원의 개념을 이런식으로 설명한다면 간단히 현 교과서 분량의 10배가 되어도 모자랄 것입니다. 어쩌면 수학사교과서 같이 되어버리고 말지도 모르지요.

우선 라디안은 실수고 60분법의 도는 실수가 아니라는 말은 엄밀히는 틀리는 것이 확실하지요. 그러나 각의 크기를 따질 때는 '도'나 '라디안' 모두 하나의 단위가 됩니다. 물론 모두 다 실수를 쓰고 있고요. 이는 길이를 재는데 m, cm, ft 등의 여러 가지 단위가 쓰이는 것과 유사합니다.

이제 조금 조심하여 구별할 것은 '삼각비'와 '삼각함수' 입니다. 이 두 개는 동기 유발의 관점에서 연계하여 설명하는 것이 일반적입니다. 그러나 이 두 개는 전혀 관계가 없는 것이라고 할 수도 있습니다. 삼각비는 구체적인 도형과 각의 크기 등에 관련된 개념이고요. 삼각함수는 이로부터 한 단계 추상화되어 나타난 함수니까요. 이제 삼각비에서는 단위로 '도'를 쓰거나 '라디안'을 쓰거나 큰 문제가 되지는 않습니다. 그러나 삼각함수를 쓸 때는 변수를 라디안으로 할 때의 삼각비의 값을 함수값으로 정의하는 것이 다른 어떤 경우에 비하여 매우 간단합니다. 따라서 삼각함수는 라디안을 변수로 할 때의 삼각비의 값을 씁니다. 이제 예를 들면 함수 sin 은 실수집합 R 에서 R 로 정의된 함수이니까 (그리고 일반적으로 함수의 정의역, 치역의 수는 단위를 생각하지 않으니까) sin 함수의 변수(예전 각의 부분)는 단순한 실수일 수 밖에 없고, 또, 라디안을 쓸 때의 각의 삼각비와 같다고 할 수 있는 것입니다.

이러한 부분을 이해하신다면 왜 라디안을 소개하는지, 왜 라디안이 실수라고 하는 말이 정확히는 틀린 말이면서도, 라디안 부분을 실수로 바꿔서 삼각함수를 만드는 것이 옳은 것인지를 이해하실 수 있을 것입니다.

만일 우리가 수학의 내용만을 고집한다면 초등학교에서부터 라디안으로 시작하는 것이 옳습니다. 그러나 그렇게 하면 상당히 많은 부분이 너무 어려워질 것입니다. 반면에 '도'를 고집한다면 삼각함수를 다루는 것이 매우 복잡해질 것입니다. 따라서 처음에는 '도'를 사용하다가 어딘가에서 '라디안'을 도입해야 하는 것은 분명하며 이는 '오뎅'님의 견해가 맞습니다. 단지 점차로 현실문제의 주기적인 현상에 삼각함수의 응용이 늘어나는 지금이고 보면, 대다수의 사람들이 미적분의 방법을 모르는 것이 현실이더라도 21세기 초반의 우리 국민은 아마도 삼각함수를 구구단같이 사용할 수 있어야 될 것입니다. 이러한 점에서는 라디안의 도입은 될 수 있으면 앞당길 필요가 있다고도 생각합니다.(이는 무조건 교육과정을 높이자는 것은 아닙니다.)

오히려 현재의 교육과정에서 이러한 효과를 거둘 수 있는 것은 현장의 선생님들이 이러한 목표를 이해하고 이미 잘(?) 만들어져 있는 교육과정을 활용하는 것이라고 생각합니다.

예를 들면 중학교에서 원을 공부하면서 중심각은 '도'를 사용하지만 이로부터 부채꼴의 원호의 길이와 연계시키는 문제를 많이 다룹니다. 이것이 왜 많이 다루어지는가? 어쩌면 많은 사람들이 이 부분에서 문제로 내고 계산할 수 있는 것이 이것뿐이라서가 아닌가 하고 생각할 지도 모릅니다. 그러나 사실은 이것이 바로 다음 단계에 가서 라디안을 도입하기 위한 준비작업인 것입니다. 즉 중심각과 호의 길이를 자꾸 연계시켜 보면서 그 비례관계를 익히고 이것이 자연스럽게 된 다음에는 라디안으로의 전환이 한결 쉬울 것이기 때문입니다. 따라서 여기서 비례관계를 강조하고 반지름을 고정한(예를 들면 1로) 원의 원호의 길이를 알면 중심각을 알아낼 수 있다는 사실을 강조하면, 또, 나아가서 원호의 길이와 중심각 사이에는 1대1 대응이 있고 비례관계(1차함수)가 된다는 사실을 가르쳐주면 매우 훌륭하게 준비가 된 것일 것입니다. (물론 이것은 외우거나 말로 가르쳐 주는 것이 아니고요, 많은 활동과 암시를 통해서 이루어져야 할 것입니다. 암시라 함은 물론 잘 이해하고 있는 선생님의 태도, 나아가서 많은 상황에서 생각이 나아가는 방향을 보여줌으로써 교육되는 그런 부분이 되어야 하겠지요.)

한편 라디안을 도입하는 데 원주의 길이는 그 한 가지 방법에 불과합니다. 실제로 삼각함수와 쌍곡함수의 이론을 보다 보면 각의 크기는 원호의 길이보다는 부채꼴의 넓이와 더 관계가 깊다고 생각이 듭니다. 반지름 1인 원의 원주의 길이는 2pi 이며 이 원의 넓이는 pi 입니다. 이 원의 어떤 부채꼴의 중심각이 theta 이면 이 부채꼴의 넓이는 theta/2 입니다. 따라서 중심각의 크기는 부채꼴의 호의 길이로 잡을 수도 있지만 부채꼴의 넓이의 두 배로 잡을 수도 있습니다. 그러나 우리에게는 더욱 자연스럽다고 생각되는, 넓이의 두 배라는 각의 개념은, 처음 공부하는 학생들에게는 더욱 부자연스러워 보이고 혼란스러울 것입니다. 이러한 모든 설명은 가르치시는 선생님이 알아서 직접 학생들에게 해 주시기를 바라는 것이며 교과서에는 표현되지 못하는 부분입니다. (현장에서 대부분의 선생님들이 진도와 시간, 다른 많은 일에 바빠서 제대로 설명해주지 못하시는 것은 감안하지 않은 이야기입니다만...) 이러한 부분을 제대로 설명하는 것은 아마도 우리나라에서는 교과서 보다는 다른 보충교재가 담당할 일이라고 생각됩니다. 그리고 이러한 보충교재의 내용은 수학을 정말로 잘 설명해야 하므로 교과서보다 훨씬 쓰기 어려운 책이 될 것입니다. 이러한 작업에 시간을 할애할 선생님이 계시다면 우리나라 수학교육이 매우 발전할 것이라고 생각됩니다.

이러한 부분에서 선생님께서 지적하신 오개념 부분이 잘 설명될 것이라고 생각됩니다. y = x + sin x 와 같은 것은 원칙적으로는 이미 라디안이란 개념을 떠난 추상적인 삼각함수에 대한 것이므로 논외입니다. (물론 더 어려운 해석학의 분야에 가서 다시 원으로 돌아와 후리에변환등을 하게 되면 또 다시 각과의 관계가 불거집니다만...)

마지막으로 선생님이 지적하신, 각을 측도(measure)로 보는 Moise 교수의 책과 같은 것은 수학을 엄밀하게 기술함으로써 개념의 혼돈을 막은 좋은 방법입니다. 그리고 이러한 관점은 이전의 SMSG 에서 가장 강조되었던 점입니다. 이것이 모든 선생님의 생각의 바탕에 있어야 하는 것임에는 다시 강조할 필요가 없을 것입니다만 이 내용을 학생들에게 직접 문자 그대로 전달하는 것은 혼란만을 더 할 것이며 교육의 목표를 왜곡시킬 소지가 큽니다. 우리가 원하는 것은 이러한 기본 개념을 학생들이 자연스럽게 받아들이고 스스로의 생각을 통해서 측도의 개념까지 도달하도록 유도하는 것이며(물론 당장 도달하지 못해도 아무 상관이 없습니다) 내용의 주입을 통해서 아직 받아들일 수 없는 상황에서 말로만 기억하게 하는 것이 아닙니다. 말로만 기억하는 것은 그 어떤 상황과 비교하여도 최악이라고 밖에는 말할 수가 없습니다.(모르는 것이 훨씬 낫습니다.)

(참고: 마지막 부분의 단위 문제는 역시 곱셈의 경우와 덧셈의 경우는 서로 다릅니다. 물리학이나 공학에서 잘 쓰는 차원의 문제(단위의 문제)는 그 자체로도 한 권의 책으로 쓰여질만큼 중요한 개념이며 그 중심개념만 뽑는다면 대수학의 텐서곱의 이론이 될 것입니다. 그러나 서로 다른 단위를 갖는 두 수의 합은 서로 다른 집합의 두 원소에 대한 연산으로서 잘 정의하기가 힘든 개념이 됩니다.)

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수학을 가르치며 느끼는 몇가지를 말해보고자 합니다. 두서없는 말이 되겠지만 도움이 되었으면 합니다. 여기 말하는 것은 이미 모든 사람이 알고 있는 사실에 불과하면서도 또 확실히 느끼지 못한다고 보입니다. 여기서는 수학을 이야기 하지만 일반 학문에 모두 적용될 것입니다.


<< 수학을 공부하는 법 >>


보통은 고등학교에서 수학을 배우며 수학은 알려진 사실을 잘 기억하고 효율적으로 정리하여 문제에 적용하는 것으로 느낍니다. 이것은 틀리는 생각은 아니지만 생각해보아야 될 부분이 많이 있습니다. 특히 대학에서 공부를 하면서 이것으로는 힘들구나 하는 생각이 많이 들리라고 봅니다.


수학은 문제를 푸는 방법을 익히는 것임에 틀림이 없습니다. 그러나 사람들은 고교 시절의 방법에 너무 매달려 그릇된 방법을 쓰고 있습니다. 한가지만 생각해 보지요. 예를들어 고등학교에서 미적분을 배울때 문제의 유형에 따라 수많은 문제를 풀어보고, 유형을 정리하고, 그것도 모자라 이런말이 나오면 이런것을 생각해라 하고 공식같은 격언들을 외웁니다. 그러나 대학에 오면 그런 "친절한" 강의는 볼수가 없습니다.


왜일까요? 한가지 사실로 명백해집니다. 고교 미적분에서 우리가 배워서 쓰는 사실(정리)들은 불과 몇개 입니다. 그러나 대학에서는 (예를들어 선형대수에서) 나오는 정리의 수가 수십개에서 백여개에 이릅니다. 고교에서 1-2년간 몇개의 정리를 어떻게 쓰는가를 정말 잘 배운셈인데 정리가 몇십개내지 몇백개로 되면 어떻게 해야될까요? 이제는 모든 경우를 다 해보고 외운다는 것은 불가능합니다. 고등학교에서는 푸는 방법을 외우면 됐지만 이제는 푸는 방법을 이해하지 않으면 안됩니다. 물론 한가지를 이해하는데는 외우는 것보다 훨씬 많은 시간과 노력이 듭니다만 한가지라도 이해하면 그와 관련된 많은것은 같이 이해할수 있지요. 따라서 한두가지를 이해하는 것은 효율이 낮지만, 많아질수록 이해하는것이 효율이 높아진다는 것을 알수 있지요.


그러면 공부하는 방법도 바뀌어야 됩니다. (이것은 시작 부터 이렇게 하는 것이 옳지만 규격화된 대학입시에서 효율을 높이려면 바꾸기 쉽지 않습니다.) 강의를 그냥 들어서는 이해되지 않습니다. 이것은 외우는 방법일 뿐인데, (고등학교때에 비해) 너무 많은 분량이어서 외워서는 이해가 되지를 않지요. 그러면 이해한다는 것은 무엇인가? 여러분이 잘 이해하는 것(국민학교 산수 같은 것들)을 생각해보면 알수 있지만 어떤것을 잘 이해하면 그 사실을 기억하는 것 뿐만 아니라, 그 사실이 왜 성립하는가를 아는 것이지요. 이 말도 좀 애매 모호하지요. 어떤 사실이 왜 성립하는지를 이해하는 것은 그 사실이 어떤때 성립하지 "않는지"를 잘 아는 것이라 할수 있습니다. 예를 들어 자동차가 어떻게 움직이는지를 잘 아는 것은 왜 연료가 없으면 안움직이는가? 왜 윤활류를 안치면 고장이 잘 나는가? 등등 모든 예외를 알 때 입니다. 그냥 움직이는 원리를 아는 것은 시작일 뿐이라는 것을 알수 있지요.


따라서 이상적인 강의는 서로의 토론에서 나옵니다. 우선 문제가 주어지고 그것을 풀어나가던가, 어떤 사실에 대하여 생각해보는 것입니다. 그 다음에 제기되는 의문을 해결해나가면 그 문제나 사실을 정말로 잘 이해하게 됩니다. 이때 제기되는 문제는 바보같은 질문일수록 좋지요. 여러가지를 생각하게 해 주니까. 또 그러는 동안에 제대로 생각하는 방법도 배우고요. 사실 바보같은 질문일수록 대답이 쉽지 않다는 것을 잘 알겁니다. (그러나 지금 당장 강의실에서 그렇게 할수 없으리라는 것은 당연하지요.)


처음에는 쉽지 않을 것입니다. 문제가 있어도 자기 혼자는 거의 답을 알수가 없으니까요. 금방 포기하기가 쉽지만 많이 물어보고 또 물어보는 사람에게 아는 것을 열심히 가르쳐 주다 보면 금방 터득할수 있습니다. 수학이 어렵다고 생각하는 분이 많겠지만 순서대로 단계적으로 이해하면 수학보다 더 쉬운것은 없습니다. 이것은 여러분이 "아는" 수학을 잘 생각해 보면 정말 쉽다는 것에서 잘 알수 있습니다. 이해만 하면 어떤 수학이던 그렇게 쉬워집니다.


정말 두서없는 글이 되었군요. 여러분의 공부에 도움이 되기를 바라면서...


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