내 페북 친구중의 한 분이 쓰신 글을 읽고 생각해 본다.


제목은 "중고등 수학의 기형성"이고 몇 가지 문제와 해법을 제시하셨다.


이분의 문제제기는 너무 타당하고 오랜 동안의 문제이지만 젊은 분의 생각은 근래의 경험만으로 결정되기 쉬워서 몇 가지 반론 아닌 반론을 써서 이 분 글을 지지하려 한다.


1. 첫째 문제 제기는 고등학교 문제들이 미적분 일색이지만 뉴턴과 상관없이 수학적 내용만 있다는 것이다. 


맞다. 원래 만들어 놓았던 고등학교 교육과정과 거기서 물어볼 수 있는 문제를 너무 제한시켜서 원래 목적과의 연계는 완전히 끊어졌다. 기술된 방식이 현실문제와 연관 없는 방식이라고 썼지만, 문제는 원래 교과서(예를 들어 3차 교육과정)를 봐야 한다. 당시는 물론 지금도 교과서 분량을 크게 하지 않아야 하는 제약때문에 수학 설명은 매우 형식적이고 간결하게 쓰여졌지만 목표는 현실에의 응용을 최대한 생각했었다. 미적분 맨 끝에는 물리에의 응용 섹션이 있었고 여기서 기초적 물리 계산법과 1차원적 운동방정식인 2계미방 y''=f를 푸는 것이 들어있었다. 그리고 물리에 가면 어떻게 미적분을 써서 계산하는지를 연계시켰었다. 그런데 지금은 연계된 문제는 물어볼 수도 없고 이런 응용 파트도 제거된 것이 아닌지?


2차원 이상의 문제는 또 다른 문제다. 벡터, 극좌표가 없어져서 실질적으로 활용할 수 있는 좌표계는 수학책에 없다. 그래서 2차원 이상의 물리현상을 지금 고등학교 졸업한 학생은 전혀 이해할 수 없다.


2. 전기와 관련된 수학이 없다고 하셨다. 


하지만 전기와 관련된 수학은 기본 미적분만 배우면 나머지는 물리에서 배우게 되어 있었다. 이것이 물리책에서 수식이 빠져나가면서 안 남은 것이지... 내가 학교 다닐 때는 기술 시간에도 전기를 배우고 회로를 배우고 진공관, 다이오드, 트랜지스터를 배웠는데... 이에 대한 물리 이론은 물리 시간에 배우고, 중학교 때 삼각함수 적분값 계산을 미적분 안 쓰고 하는 법도 물상시간에 배웠었다.


3. 컴퓨터와 데이터 과학은 지금 정말 중요하다. 이것과 관련된 행렬이 없어졌다고 하셨다.


예전에도 고등학교 통계는 매우 어려운 과목이었다.(확률보다 더) 지금도 그렇겠지만 지금은 예전의 통계 단원의 내용은 중요성이 그때보다는 좀 떨어졌다. 그리고 이분이 이야기한 데이터과학이 들어오고 있다. 우리 고등학교 교육과정에는 전혀 반영되지 않는다. 오히려 중국에서는 고등학교에서 머신러닝을 공부하는 교과서를 발행하고 시험운영 중이다. 그 내용도 지금 우리 수학과 대학원에서 강의하는 머신러닝 과목 내용의 절반정도의 수학을 포함하고 있고 실제 코딩을 해 볼 수 있는 충분한 배경이 설명되어 있다. 


이런 새로운 데이터과학을 위해서 배워야만 하는 수학은 행렬 말고도 미적분과 2차원 이상의 공간개념이 있다. (그러니까 실제로는 고차원 즉 10,000차원이나 100,000차원 공간의 개념이 필요하다.) 이것을 어떻게 길러낼 것인가가 미래의 관건이다. 적어도 수학에서는... 그리고 데이터 과학에서는 댓글에 보이는 인도 같이 기초가 되는 수학을 하지 않으면 아무것도 제대로 하지 못하는데... 또 문제는 데이터 과학에서는 국가 경계가 허물어지므로 세계 최고가 아니면 제대로된 회사도 차리기 어려울 것이라는 점이다. 수학을 뼈빠지게 공부해야 하는 이유이다.


4. 그래서 제시하신 것이 고전수학을 전면 빼고 현대수학으로 고쳐야 한다고 하셨다.


그것이 일견 맞는 방향 같아보이지만 이것은 이미 70년 전에 미국에서 실패한 New Math 운동 같이 되기 쉽다. 수학이 그렇게 간단하지 않기 때문이다. 이에 대해서는 내가 외국에서 발표한 것도 있고 글을 쓴 것도 있는데... 각설하면 


(1) 고전과 현대를 적절히 융합시키지 않으면 안되는 것이고


(2) 이것을 선생님 몇 명은 제대로 할지 몰라도 대부분의 선생님과 학생들은 너무 어려워 한다는 것이고


(3) 빠르게 변화시켜나가면 제대로 된 교육방향도 사회가 받아들이지 않는다는 것


등등 많은 난관을 안고 있는 것이어서 섣불리 건드리면 안 하느니만 못하다는 것이다. 수학교육현대화를 우리나라는 1970년대에 시작했고 미국의 모형 일본의 모형을 적절히 선택해서 생각보다 성공했었다고 보이지만 그럼에도 지금은 뒤로 돌아가고 있지 않은가? (성공했다는 점은 우리 직전세대부터 20세기 말까지 우리나라 학생들은 미국 같은 나라에서 수학을 잘 하고 고용하기 좋은 인재로 인정받았다는 점을 보면 된다. 미국 학생들과는 질적으로 전혀 달라보였다. 뒤로 돌아가는 점인 요즘 졸업하는 학생들은 내가 가르쳐봐도 수학은 정말 모른다. 고등학교 수학을 전혀 이해하지 못하고 우리 학교에 들어오니까.)


5. 마지막으로 지금 수학이 현실과의 연관성을 잃어버리고 떠돌고 있다는 말씀인데 이것은 일견 맞다. 


지금 학생들이 현실성을 못 찾는 이유는 수학을 이해하지 못하고 있기 때문이다. 이해가 되던 시절에는 현실 문제를 보면 어떻게 접근할지 금방 보였고 또 논의할 수 있었지만, 지금 학생들은 보았던 문제만 풀줄 아는데 현실문제는 한 번도 본적이 없으니까 막막하게 보일 것이다. 


그렇다고 현실 문제를 가르치자는 것은 해법이 아니다. 너무 많고 너무 여러 방향의 문제가 있고 이것을 다 가르칠 수는 없다. 지금 식으로 공부하면 아무리 많은 현실문제를 가르쳐도 또 보게 되는 다른 문제는 본 적이 없어서 못푼다. 수학공부하고 이렇게 된 것은 수학이 추상적이 되어서 때문이 아니다. 오히려 배운 수학이 너무 근시안적이고 추상적이지 못하기 때문이다. (추상적이라는 말은 추상적 공리를 외웠다는 뜻이 아니다. 현실적 문제에서 추상적 구조를 캐치할 수 있게 되었다는 뜻이 추상적 사고를 한다는 뜻이다. 이해하지 못하면 추상적 사고가 불가능하다.) 


한편 지금 발전하는 AI와 기계학습은 매우 구체적인 것 같지만 실은 매우 추상적이다. 내가 몇 년 동안 수학과 대학원에서 기계학습 강의를 듣고 있지만 확률이론을 바탕으로 최대최소를 찾아나가는 현재의 AI는 전혀 구체적이지 않다. 소위 Bayes 식의 정보 갱신이 무슨 의미인지? 그러니까 현실 문제에서 무슨 뜻인지 말고 수학적으로 데이터의 의미에서 무슨 뜻인지를 파악하려고 보면 추상 중에도 추상이다. 많은 데이터가 오면 이중에 여러개의 평균을 내서 정규분포로 바꾸어내는 중심극한정리가 도대체 무슨 뜻인지는 학자도 제대로 설명할 수 없다. (현상은 설명이 쉽다. k개의 평균들은 정규분포에 가깝다는 말이다. 그런데 도대체 왜? 이것은 어째서 생기는 현상인지? 그래서 우리 데이터에서 나타나는 파라메터가 정규분포를 따를거다 라고 말하는 것은 도대체 지금 상황이 어떻다는 것인지?)


이런 것에 자기만의 감 (분명히 추상적 감)이 있는 사람만이 현재 데이터과학을 이끌고 나가는 사람처럼 될 수 있을것인데... 이 추상적 감은 어떻게 만들어질까? 현실적 감은 문제를 많이 다루고 (물리학 같이, 경제학 같이) 하면 생기겠지만 추상적 감은 수학을 많이 볼 수밖에 없다. 고차원을 제대로 보려면 벡터와 행렬을 보는 것이 맞다. 하지만 이것이 제대로 느껴지려면 3차원 도형을 제대로 볼 수 있어야 한다. 이것은 단지 벡터로 되는 것은 아니고 더 근본적인 기하가 필요하다. 꼭 논증기하일 필요는 없지만 대수 계산으로 바꾼 벡터만으로는 안된다. 그림이 있어야 하니까.



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이 글은 길어서 본문을 파일로 올려둡니다.


간단히 서론만 다음과 같습니다.





페북에서 학생들 상대로 수학 공부의 필요성에 대해 설문조사한 기사를 보았다. 이 기사의 내용은 물론 이해되는 것이지만 거기 나타난 학생들의 의견은 물론 수학을 많이 공부해보지도 않은 것이고 또 삶을 살아본 다음에 하는 이야기도 아니므로 그렇게 중요하지는 않다. 단지 현장의 학생들은 수학 공부를 어떻게 느끼는가를 말해주는 정도이다. 물론 내가 공부할 때도 이거 어디 쓰는지 잘 몰랐지만 수학을 잘 하는 사람들을 많이 보고 그 사람들의 말을 믿기 때문에 나중에 중요하게 된다는데 의문을 가지지 않았다. 요즘 학생들이 더 빨리 비판적이 되는 것인지? 아니면 그냥 잘 못하니까 싫어서 하는 이야기인지? 잘 모른다.

이 기사에 댓글을 단 친구들 중에서 특별히 비교적 정확한 댓글을 단 한 친구의 글 가운데 ``가령 변호사/판검사가 되기 위해 수학 1등급을 받아야 하는건 분명 잘못되었다고 생각합니다.'' 라는 표현에 내가 딴지를 걸었다. 정말 그런가? 나중에 수학을 잘 안 쓰게 될 사람은 예를 들어 고등학교의 어려운 수학 같은 것은 배울 필요가 없는가? 특히 이런 것을 잘하는 것은 나중에 쓸모가 전혀 없으니까 시간낭비일까?

이 글에서 이런 질문에 답을 해 본다. 단지 내용 중에 대학 수학의 내용도 조금 있다. 읽는 사람의 이해를 돕기 위한 것이지만 모르는 사람들은 빼고 읽어도 될 것이다.


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요즘 중등교육에서는 수능 절대평가가 관심사인가보다. 영어 과목은 2018학년도 수능부터 절대평가를 한다고 한다. 이에 대해 국어, 수학도 절대평가를 원하는 사람도 많다. 이 말의 뜻은 수능이 고교 과정을 일정 수준으로 이수했는가에 대한 자격시험으로 바뀐다는 것이다. 마치 단순히 평가 방식을 바꾼다는 것처럼 이야기하지만 이것은 원래 시험을 없애고 새로운 시험을 만드는 수준의 개정이다.


문제는 이것만으로는, 그래서 고등학생의 30-50%가 모두 최상위 등급을 받아 통과했다고 하면 대학이 학생을 어떻게 선발하는가 하는 문제가 된다. 뭔가 생기지 않으면 안된다고 생각된다. 문제는 이 새로운 것에 사교육이 끼어드는 것이 줄어들기를 바라는 것이겠지...


두 가지 가능성이 보인다. 첫째는 대학이 본고사에 해당하는 것은 만드는 것이다. 이것을 막기 힘들 것이다. 결국 또 다른 사교육이 생긴다. (이 배경에는 어떤 경우에도 사교육이 효율적이라는 무시할 수 없는 사실이 있다.)


둘째는 강력하게 대학이 본고사를 치를 수 없게 막는 것이다. 이 경우 이 문제는 대학 입학 후의 문제가 된다. 실제로 이렇게 운영되는 것이 미국의 교육이다. 고등학교에서는 어느 수준의 공부만 한다. 대학은 이 학생들이 어떤 과목을 이수했는가 성적이 어떤가만 보고 학생을 선발한다. 그리고 2년 동안 기초교육을 시킨다. (이 기초교육에는 보통 언어, 수학이 있고 이과쪽을 전공하고자 하는 경우는 과학 한 과목 series 정도가 포함된다.) 이 과정에서 고등학교에서 얼마나 공부를 했는지가 드러난다. 그래서 이 초기 2년 사이에 많은 학생들이 학교 사이를 왔다갔다 한다. 성적이 별로 안 좋으면 자기에게 맞는 대학으로 전학한다. 내가 공부했던 UCLA에서 내가 공부하던 시절에 우리나라 사람만 보면 500명이 훨씬 넘는 (아마 7-800명 정도) 학생이 1학년에 입학하지만 이 2년 사이에 대부분 더 낮은 학교로 전학가고 3학년이 되면 200명 정도가 남는다고 들었다. 이 중에는 다른 학교에서 학점이 좋은 학생이 전학온 경우도 있으니까 사실 대부분이 학교를 옮긴다. (일반 미국 학생들도 사정은 비슷하다.) 대학에 있는 사람의 입장에서 보면 이것이 가능하다면 당연히 이 둘째 방법이 좋다고 생각한다. 학생들을 가르쳐보고 평가하면 정말 제대로된 평가를 할 수 있다. 


(예전에 우리가 쓰던 방법이 유럽 방식으로 고등학교에서 엄청나게 공부하고 시험봐서 좋은 대학에 들어가던 것이라면, 지금은 점점 고등학교는 최소한만 가르치고 공부하고 싶어하는 또는 집에서 밀어붙이는 학생만 공부해서 대학 간 다음에 공부가 판가름나는 미국 식으로 바뀌는 것이다. 물론 미국식은 성공적인 교육이 아니라고 평가되고 있는 것이지만...)


미국은 이 방법을 잘 쓴다. 대학에서도 그렇지만 대학원에서도 초기 core 과목은 성적 받기 매우 힘들고 이것을 통과해야 제대로 입학한 것이라고 생각할 수도 있다. 그러니까 학부에서는 2년 4학기 (또는 5-6학기) 길이의 Calculus와 1년 2학기 물리학이 이 역할을 한다. 한편 전공에 들어가면 다시 이런 과목이 있다. 수학 전공이면 해석학(Advanced Calculus)가 그것이고, 전산학 전공 같으면 전공에 들어와서 처음 듣는 컴퓨터 언어 과목이 이런 역할을 한다. 많은 학생들이 이 과목을 패스하느라 이 과목을 두 번, 세 번 듣는다. 그리고도 안 되면 자신의 수준에 맞는 학과나 대학으로 전과/전학을 한다. 이것이 가능하려면 학과 사이의 전과나 타 대학으로 전학이 쉽게 이루어져야 한다. 그리고 이 때는 시험을 보기 힘드니까 교수의 추천서가 매우 중요하게 된다.


이 두 번째 경우에는 사교육이 어떻게 될까? 이 경우에 사교육이 없어질 리는 없다. 하지만 이 사교육은 대학 과목별로 다르고 전공별로 다르고 어떤 식으로 이루어질 지도 모르니까 아마 구체적으로 분별하기 힘들 것이다. 그러니까 사교육이 많다고 말하기도 어려워질 것이고 사교육을 없앴다고 생각할 지도 모른다. 하지만 진짜로는 알 수가 없다.


하지만 내 관점에서 보면 이렇게 생기는 사교육은 지금의 사교육보다는 낫다. 적어도 쉬운 시험에 대해 실수 없도록 준비시키는 비교육적인 사교육보다는 훨씬 더 필요한 내용에 대한 실력을 늘려 주는 사교육이 될테니까 학생의 입장에서도 이런데 비용을 들인다면 쓸데 없이 돈을 쓰는 것이 아니다. 정말 피가 되고 살이 되는 사교육에 좀 더 가까울 것이다.


정책을 입안하는 분들이 이런 결과를 원해서 하는 것은 아니겠지만 "뭐 뒷걸음 치다가 뭐 잡는다"는 말처럼 어쩌면 이런 일이 일어나면 교육이 발전할지도 모른다. 단지 대학생들이 자유로 전학할 수 있는 상황이 생겨야 할 것이다. 또 결원이 생겼을 때 대학이 즉시 정원을 추가로 채울 수 있어야 학교가 운영 가능할 것이다.

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  • 조용일 2015.01.04 16:19  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    사교육하니까 이런 저런 생각이 납니다.
    고등학교때 수업시간에 50%자는 애가 수학능력시험 이과 수학 전국 92등하고, 80% 자는애가 서울대에 합격하고.....
    내신 성적 좋은 애는 학교 수업때 학원 숙제하거나 폰게임하거나 자고....
    제가 살면서 궁금한 것은 사교육은 대학 입시에서 필수 요소인가?
    개인의 노력으로 사교육없이 대학입시때 좋은 성적을 거둘 수 있는가?
    메가스터디의 손주은처럼 성적을 결정짓는 가장 중요한 요소는 유전자인가?


    제가 아는 바로는 유럽쪽은 사교육이 없다고 합니다. 독일이나 프랑스......
    사교육이 없어도 되는 이유는 공교육 기반이 탄탄해서 인가?

    성적을 결정짓는 가장 중요한 요소는 유전자인가...
    이에 대한 반례는 Oswald Teichmüller입니다.
    어머니 아버지 2분다 직업이 학문과 크게 관련되있진 않죠..

    이만 어수선한글 줄입니다.

    • 그로몹 2015.01.25 20:09  댓글주소  수정/삭제

      사교육 없이 개인의 노력으로 (비교적) 가능한 시험이 있고, (거의) 불가능한 시험이 있습니다. 이것은 특히 시험문제 수에 비해서 시간이 많은가 적은가에 달려 있습니다.

      프랑스 고등학교에서 학교에서만 공부하고 잘 할 수 있는 이유는 고등학교 선생님들의 실력이 좋기 때문이라고 생각됩니다. 대학원 마치고 처음 대학에서 가르칠 때 같이 있던 젊은 프랑스 박사는 자기 같은 사람들이 몇년씩 고등학교에서 가르친다고 했어요. 우리나라는 석사도 안 한 졸업생들이 고등학교 선생이 되고, 그 후에도 거의 더 공부를 안 하는 상황에서는 아무리 똑똑해도 수준차를 극복할 수 없지요. 공교육 기반에는 건물 같은 시설은 많이 필요 없고, 책과 선생님이면 됩니다.

Science Times라는 웹신문?에 컴퓨팅적 사고교육이라는 말이 나왔다. (http://goo.gl/3uBEZZ) 이 뉴스에 나오는 Computational Thinking이라는 말은 MIT의 수학자 Seymour Papert 교수가 처음 만든 말이라고 되어 있다. 이 Computational Thinking은 현대 사회에서 매우 중요한 개념이라고 생각된다. 학생시절부터 뇌에 어떻게 HDD (요즘은 SSD)를 연결해서 기억력을 높일까 하는 상상을 했었는데, 이렇게는 아니더라도 컴퓨터를 옆에 두고 도움을 받으며 생각할 수 있으면 매우 도움이 된다. 실제로 우리 연구팀은 연구 과정에서 Mathematica라는 프로그램의 도움을 항상 받고 있다. 다른 패키지 프로그램도 똑같이 유용할 것이다.

 

그런데 이 신문 기사를 보니 아마도 이 창의재단 토론회에 참여한 분들은 모두 전산학과 전공분들인 것 같다. 하지만 Computational Thinking은 당연히 수학과 함께 다루어야 하는 것이다. 아마도 각종 수학 및 응용수학, 그리고 수학을 사용하는 학문을 하는 분들이 모여서 이러한 토론을 해야 마땅하다. 왜냐하면 이런 사고방법에서 필요한 것은, 컴퓨터 언어와 이를 사용해서 모듈을 짜고 이런 모듈을 연결하는 그런 도움이 아니라, 대부분의 경우에 이미 잘 만들어져 있는 패키지 프로그램을 활용해서 즉시 즉시 사고에 도움을 받아야 하기 때문이다. 여기서 즉시 즉시란  1분, 1시간, 1일 과 같은 단위이지 프로그래밈을 하고 디버깅을 하는 1-2 주 내지는 몇 달도 요구되는 그런 도움은 아닌 것이다. 전산학과가 전공하고 가르치는 것은 이러한 패키지를 개발하고 제작하는 방법이고 이러한 패키지를 활용하는 것은 대학의 모든 전공에서 각각 하는 것이다. 


단지 이 세상 모든 일에서 컴퓨터의 도움을 받고 싶다면 어쩔수 없이 수치화 내지는 문자식으로 바꾸어야 하고 따라서 사람과 기계 사이에는 수학이 들어가지 않을 수 없다. 따라서 Computational Thinking이라면 사람과 컴퓨터 사이에 수학을 넣어 생각하는 방법이라고 바꾸어 말해도 된다. 너무 어려운 프로그래밍은 전문 프로그래머만 알면 되며 이것은 비교적 소수만이 필요할 것이고, 우리 국민 너도 나도 알아야 하는 것은 단순한 문제에 컴퓨터를 연계짓는 방법, 조금 복잡한 문제에서 프로그래밍 없이 컴퓨터의 도움을 받는 방법이다. 이러한 내용을 잘 설명한 사이트가 있어서 한두 개 소개해둔다.


하나는 위키피디아: http://en.wikipedia.org/wiki/Computational_thinking

또 하나는 누군가의 블로그이다: http://goo.gl/X8eH65



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오늘 페북에서 본 이야기 하나는 초등학교 수학문제에 대한 것이다. 이 문제에 대한 아이의 답이 우스워서 댓글을 하나 달았지만...


각설하고 이 문제에서 생각할 점은 아이들 입장을 생각하고 문제를 냈으면 한다는 것이지만 이 문제의 내용이나 수준이 잘못되었다는 오해는 없으면 한다. 문제는 "왜 3671이 3609보다 큰지 설명하시오"라는 문제이다. 아이에 대답은 "이것도 이유가 있나?" 라는 항의식 답변. 아마 이것은 교과서 익힘책인가? 아니면 참고서에 나온 문제이거나.


이에 대한 댓글 가운데 몇 가지 들면

  1. 저는 다수의 의견과 다른 생각을 가지고 있습니다. 초등학교 부모로서 저도 아이들 문제 보면 설명하기 어려운 문제들 봅니다만, 아이들은 이에 대한 내용을 학교에서, 교과서에서 배워 더 잘 알고 있습니다. 위의 문제라면, 학교에서 같은 자리수의 숫자 크기 비교는 가장 큰 자리수부터 비교한다 라고 배우는 거죠. 그래서 ... 천의 자리, 백의 자리 숫자가 같기 때문에 십의 자리를 비교하는 거라고 해야 하는 것입니다. 그런 설명을 선생님이 분명히 하셨겠죠? 제 아이였다면 아이 의견을 인정해주되, 당연한 것도 그것을 설명할 수 있어 다른 사람에게 알려줄 수 있으면 더 좋다는 것과, 당연하다 여기는 것이 정말 당연한 것인지 생각해 보아야 한다는 것을 말해 주었을 겁니다. - "4학년학부모"님 
  2. 익숙해지겠죠. 풀이과정을 외울테니까. 그렇다고 창의력이 키워진답니까? 조금 더 싫어하게 되는거죠. 생각하는 수학은 무슨... 만드는 사람이랑 설명하는 사람이야 생각하겠지만, 배우는 사람은 포기하게 됩니다. 댁들이 하려는 건 그나마 외우기라도 하면 되던 걸 그것조차 못하게 만드는 것입니다. - "쓰리고"님
  3. 현직 초등학교 교사입니다. 사실 저도 요즘 교과서 보면 '왜 그런지 설명하시오.'나 '이 단어를 넣어 문장을 만들어 보시오.' 같은 문제가 지나치게 많다는 생각을 합니다. 옛날 교과서랑은 너무 다르죠. 요즘은 연산보다 수학적 의사소통을 중시해서 그렇습니다. 즉 자신에겐 당연한 것도 더 어린아이에겐 그렇지 않을 수도 있는데, 그걸 설명해줄 수 있는 능력을 요하는 거죠. 나아가서는 어른이 되었을 때 자신의 전문 분야를 다른 사람에게 이해시키는 능력의 초석이 됩니다. - "초등교사"님
  4. 웃자고 올리신 글이겠지만, 외국에서처럼 논리력을 키우려면 필요한 문제인 듯 싶네요. 그리고 학교에서도 충분히 수업한 내용일 거구요. 수학교육이 제대로 되어야 합니다. 물론 다른 사회 과목이나 과학 과목도 중요하고요. 아이들이 계속 문제나 현상에 대해 생각하게 하는 문제들이 좋은 문제죠. 생각하는 힘을 길러주니까요. 다음부턴 같이 생각해보자~라고 하시면서 아이들이 스스로 생각할 수 있도록 지도해 주시면 좋겠네요. - "ㅎㅎ"님
  5. 숫자는 관념적인 것이기 때문에 어린아이들이 그것을 이성적으로 분석할 능력까지는 가지지 못하는게 당연한 겁니다. 오히려 당연히 큰 것처럼 느껴지는 것이 머리속에 표상으로서 숫자가 자리잡고 있다는 증거겠죠. 초3이 저런 문제를 푼다는 것 자체가 주입식 교육의 폐해입니다.

이런 답글들이 달린다. 아마도 대부분 자신의 주변에서 경험한 바에 따른 것이리라. 언급하고 싶은 것은 이들의 차이가 대단하다는 것이고 꼭 반박하고 싶은 마음도 없다. 이러한 차이를 야기하는 것은 무엇일까? 또 해결방법이 있는가? 한 50%라도 해결할 수 있는가?


나의 댓글은 

문제를 내는 사람이 줄여서 생각하는데 익숙해져서 문제라 어구대로 해석하면 이상하지만... 

"어떤 물건이 3671 있으면 3609개보다 많다. 사실을 3671 3609라는 ( 표현으)로부터 알아냈다면 이를 어떻게 설명할 있을까?" 

이런 식으로 문제를 만들면 저런 일은 생기겠죠. 혹시 이렇게 내면 문제를 이렇게 꼬아 냈어 하는 식으로 반응하는 사람이 생기려나?

였다. 


그런데 어떤 학생은 저런 문제가 도움이 되고 어떤 학생은 안된다. 모두에게 저런 능력을 키워주고 싶은데 어떻게 하는 것이 바른 방법인가?



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  • 운영자 2013.11.27 20:41  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이 글을 써 놓고 보니 한 가지 덧붙일 것이 있다. 이 문제가 초등학교 3학년에게 어렵다거나 쉽다거나 할 부분은 없다. 또 이 문제에서 대학의 실수의 정의를 언급할 것도 아니다.

    이 문제를 익히는데 몇 살이 되어야 이해된다는 법도 없다. 이 문제를 2학년에서 익힌다고 선행학습이라는 말도 이상해보인다. 초등학교 1학년이라도 수학적인 생각을 많이 하는 학생은 이 문제가 쉽게 느껴질 것이다. (어떤 수학문제든 모르는 사람에게는 너무 어렵고 아는 사람에게는 너무 쉽다.)

    사람들은 이런 당연한 것을 너무 무시하는 것 같다.

올해도 어김없이 입시와 관련된 논의가 오간다. 어려운 문제에 어려운 논의가 될 수 밖에 없다. 답이 없는 문제에 모든 사람의 관점이 다르기 때문에 혼란은 가중된다.


최수일 선생님께서 논의하시는 올해 입시 문제 해결책에 대한 토의를(2013년 6월 18일) 보았다. 몇 분이 좋은 의견을 올려주시고 논의도 심도있게 진행되는 듯 싶다. 그러나 여기서도 내가 예전에 지적했던 한 두 가지 기본적인 사항을 간과하는 듯이 보여서 여기 지적해 두고자 한다.


우선 논의하시는 문제에서 대학도 입시도 고등학교도 학부모도 모두 잘못이 없다. 모두 현재 주어진 환경에서 최선을 다 하고 있다고 보인다. 시험이라는 것은 두 가지 역할을 한다. 그것은 학생들이 학습한 결과를 평가하는 것과 함께 이 평가를 (선의로) 반영함으로써 학생들이 열심히 공부하도록 유도하는 것이다. 입시는 이 두 번째 것에 들어간다. 


입시가 과열되는 이유는 대학에 서열이 있기 때문이다. (학생을 줄세우는 것은 다 나쁜 것만은 아니다.) 대학 사이의 격차가 너무 크기 때문에 죽어라고 하나라도 나은 쪽으로 가려고 하는 것일 것이다. 대학 사이의 격차가 너무 없어도 안되겠지만 너무 큰 격차를 줄여주는 것은 정부만이 할 수 있을 것이다. 


위 링크의 제 글에서 이야기한 것처럼, 만일 교과과정을 줄여서 시험범위가 줄어들면 문제가 되는 것은 나머지 시험범위에서 입시문제를 어렵게 내는 것이 아니고 (문제의 범위가 제한되어 있어서 이 문제는 별로 큰 문제가 아님), 나머지 만으로는 변별력이 줄어들 수 밖에 없는데, 변별력이 적은 문제에서는 사교육이 매우 큰 역할을 할 수 있게 된다는 것입니다. 


제가 바라는 것은 사교육을 없애는 것이 아니고 사교육이 교육적인 목표를 향해서 쓰일 수 있도록 해 나가는 것이지요. 사교육으로 본질적인 공부는 하지 않고, 교육적으로 바람직하지 않은 이상한 방법만을 익혀서 점수만 높이는 것이 가장 나쁜 것이라고 생각되기 때문입니다.


최수일 선생님께서 물어보시는 몇 가지 질문에 대하여 생각해 봅니다.


(2) 기하와 벡터가 수능 시험범위에서 빠지면 시험이 쉬워지는가? 

저는 그렇다고 봅니다. 나머지에서 어려운 문제를 내어도 조금은 쉬워질겁니다.


(3) 수학이 왜 변별력을 책임져야 하는가?

변별력이 줄어들면 교육부나 대학이 싫어하는 것은 맞지만 이것만이라면 변별력이 조금 줄어도 되겠지요. 하지만 위에 말씀드린대로 변별력이 줄어들면 나쁜 사교육이 판치기 때문에 꼭 변별력을 늘여야 합니다.


(4) 기하와 벡터를 가르치지 않으면 학력이 저하되는가?

물론 많이 저하됩니다. 기하와 벡터까지는 아니더라도 중학교의 기하만 해도 많은 능력을 키워주는 과목인데 지금은 그 내용이 너무 줄어서 우리나라 사람들 대부분은 아마도 중국 사람들의 능력(potential)을 따라가지 못하고 있다고 보입니다. 이것은 단순히 기하문제를 풀수 있는가 하는 것이 아니라 새로운 문제에 닥쳤을 때 도형적인 생각을 할 수 있는가 하는 문제이고요. 이와 관련해서는 고인이 되신 Kodaira 교수님이 생전에 계속 주장하시던 것을 알아보시는 것도 한 가지 방법일 듯합니다.


마지막으로 교육과정의 운영 방법과 관련해서는 어떤 선생님께서 제안하신 바대로 3학년 1학기까지 모든 교과과정을 모두 떼고 수능 전후해서부터는 전혀 다른 것을 공부하도록 하는 것이 어떤지 합니다. 그리고 그 2년 반 동안에 기벡을 네번 떼든지 무엇을 하든지 학교가 학생들하고 상의해서 할 문제라고 보입니다. 혹시 학생들 사이에 의견차이가 있다면 반을 나누어서 네번하고 싶은 학생, 한번 깊이있게 하고 싶은 학생 등등으로 따로 운영하면 안될까요? 혹시 교육부가 이런 것을 제한하고 있다면 쓸데 없는 것이 아닐까 생각됩니다. 당연히 학생들은 자기가 교육받고 싶은대로 교육받을 권리가 있겠고 현실적으로 불가능한 것이 아니라면 해 주어야 하지 않을까 생각됩니다만...



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엄교수님께서 링크해주신 어떤 신문기사를 읽어보니 강남 모 초등학교에서 초등학교 학생들과 아빠들이 같은 초등학교 수학 문제를 놓고 시험들 치르는 경쟁을 했다고 한다. 결과는 아빠의 승리지만 평균 1점 차로 아이들이 분패한 것으로 나와 있다. 기자는 이 event에서 아이들이 공부하는 것이 부모들이 생각하는 것보다 어렵다는 것을 이야기하고자 하는 듯하고, 또 부모가 (특히 아버지가) 아이들의 생각에 참여하면 아이들의 (지능) 발달에 도움이 된다는 이야기를 덧붙였다.


이 시험 경쟁은 이벤트성인 점이 상당히 있지만 이런 경험을 해 보는 것은 아이들에게 나쁘지 않을 것이다. 그리고 부모에게도 좋은 경험이 될 수 있다. 이 기사에서 다른 모든 것은 괜찮아 보인다. 결론은 조금 잘못 유도된 듯하지만, 이런 결론을 이야기하고 싶은 것도 충분히 이해가 되며 또 많은 생각을 해 보아야 할 부분이겠다.


문제는 시험인데, 가만히 보면 이 시험에서 불공정할 수 있는 부분이 보인다. 26분동안 10문제를 푸는데 문제가 실용적인 문제 (따라서 지문이 긴 응용문제)가 대부분이 아닌가 싶다. 비록 이 문제가 초등학교 5학년을 대상으로 하는 문제이더라도 (나 같은 수학 교수도) 이런 문제를 오랜만에 처음 대하면 도대체 무엇을 하라는 문제인가를 파악하는데도 시간이 오래 걸린다. 이런 문제를 26분에 10문제 풀라는 자체가 무리스럽기 쉽다. 이에 반하여 아이 엄마들은 아마도 교육에 비교적 관심이 많지 싶은 것을 글에서 볼 수 있고, 아이들은 이런 종류의 시험에 조금은 경험이 있을 거라고 생각된다. (뒤쪽에 예로 들어 놓은 시험문제 하나만 보아도 어떤 시험인지 대략 알 수 있다.)


이런 문제는 (문제 지문이 길고 어렵지 않은 문제) 문제가 어떤 식인지를 아는가 모르는가에 따라 푸는데 걸리는 시간이 크게 차이난다. 아마도 여기 와서 처음 시험문제를 보았지 싶은 아빠들에게는 크게 불리한 시험이다. (게다가 모두 처음 보는 식의 문제라고 하더라도 머리가 굳어진, 수학을 본지 오래 되는 사람에게는 문제의 의도를 파악하는데 시간이 많이 걸린다.) 이 문제가 두 그룹에게 모두 처음 보는 문제이고 또 풀이 방법도 배운 것을 바로 사용하는 문제였다면 조금 결과가 다를지도 모른다.


그러나 어쩌면 이런 나의 기우는 단지 기우이고 실제로 학생들도 이런 문제를 처음 보았을지도 모르며, 그런 경우에는 불공평하다는 생각은 접어야 할지 모르겠다.


이런 긴 서두를 가지고 꼭 하고 싶은 말은 지난번에 적은 내용과 유사한 것이다. 이런 시험을 보일 때는 학생들이 단순히 공식만 외우지 않고 생각해서 문제를 푸는 능력을 키워왔는가를 물어보겠다는 의도가 깔려 있다. 그러나 이런 문제는 이와 유사한 문제를 풀어본 적이 있는가와 없는가의 차이가 극명하게 갈리는 종류의 문제이다. 이런 문제가 제대로 문제 역할을 하는 것은 이런 문제를 처음 사용할 때 한 번 뿐이다. 한번 알려지고 나면, 문제에서 물어보려는 것을 (예시된 문제의 경우) 기억하는 학생들은 거의 문제를 읽지 않고도 바로 풀 수가 있게 된다. (내 경험으로는 이런 기억력은 학생 시절에 매우 좋았다.따라서 이런 문제를 처음 보는 그러나 생각하는 훈련은 열심히 한 학생을 걸러내 보겠다면 시험을 치르는 시간을 많이 주어야 한다. 이런 문제라면 빨리 푸는 학생은 1분이면 풀겠지만 혹시 다른 잘못은 없는지 내 생각이 맞는지 되돌아보면서 풀어나가는 학생은 5분이 필요할지도 모른다. 한 10분 준다면 편안하게 풀고 검토할 시간이 있다고 하겠다.


예전에 본고사 시절의 문제가 왜 어려웠는가? 이 기사를 보면서 생각하게 되는 것은 쉬운 문제를 물어보는 시험은 간단한 것을 물어보아야 공정하고 (복잡하면 문제에 익숙한 사람에게 매우 유리하므로), 이런 시험이 아니라 복잡한 생각을 측정하고 싶으면 처음 보는 유형의 문제여야 할 것이라는 것이다. (답만 낸다는 가정이다.)


물론 또 한가지 방법이 있다. 비록 유형을 알고 있더라도 풀이 과정을 자세히 적도록 하면 학생들의 생각을 가늠해 볼 수 있다. 이런 종류의 시험을 대량으로 치르기는 힘들다. 그렇다고 해도 결국 지금과 같은 식의 시험은 사교육을 부추기고 그 교육 내용도 비교육적으로 만드는 지름길이라는 생각이 드는 것은 어쩔 수 없다.


작년, 재작년이었으면 이 시험에 이 학교의 학부모이신 조모 교수님께서 참석하셨을 수도 있겠다는 생각이 든다. 참석하셨으면 몇 점을 맞으셨을까, 또 이런 결과에 대해 뭐라고 하셨을까? 



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  • Kunggom 2012.09.04 06:52  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    기사 맨 마지막에 있는 문제는 ‘산수’ 문제로군요. 저는 수학은 까막눈이나 다름없지만, 산수라면 그나마 할 수 있으니 다행이랄까요. 아니면, 어제 막 전기요금을 내고 오는 길이라서 익숙해서 잘 풀 수 있었던 걸까요. 어쩌면 이 문제는 대개 어머니가 더 잘 풀 수 있는 문제인 것 같습니다.

    3560+(57.3*100)+(118.4*100)+(175*100)+(258.7*20)=43804

  • 박상빈 2012.10.11 17:51  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    좋은글 감사합니다

최근 언론에 입시 논술에 대한 이야기가 나오는 것이 보인다. 입시 시즌이 다가오고 있는 것이겠지 하면서도 항상 나오는 똑같은 이야기, 그리고 본질을 비켜간 듯 보이는 단순화된 논리 등에 조금 마음이 상한다. 이렇게 해를 거듭해서 같은 말을 되풀이하며 해결점을 향해 나아가지 못하는 것은, 핵심을 젖혀놓은 논의와 함께, 기록에 인색하고 예전 기록을 들쳐보지 않는 습관 때문일 것이라는 생각이 든다.


누군가의 링크에 따라 읽어본 한 두 가지 기사/의견란에 대해 첨언을 해 둔다.


이 의견란은 일견 비교적 공정한 듯이 보이는 의견이 쓰여 있었다. 간단히 소개하면: 


최근 논술에 고교 교육과정을 넘는 고난도 문제가 나온다. 이것은 고등학교에서 준비하기가 어렵다. 어려운 논술고사는 학생들을 사교육으로 내몬다. 이러한 일반적인 논리에 대해서,


1. 대입 논술의 범위를 고등학교 교육과정 범위로 한정하자.


2. 초등학교부터 학교 교육과정에 논술을 넣어서 능력을 키워나가자.


라는 말씀을 하고 있다. 이에 대한 나의 의견은:


1. 우선 이러한 논의의 전제는 아이들을 사교육으로 내몰지 않도록 하는 방법을 모색한다는 것이다. 이것은 일견 옳은 방향인 듯이 보이지만 핵심을 벗어나고 있다. 이것은 사교육을 막을 수 없다는 대 전제를 무시한 것이다. 사교육을 무조건 막을 수 있다면 모르겠지만 그럴 수 없다면 어려운 시험이 없어지면 불공정하고 비교육적인 사교육만 판치고, 결국 돈 많은 사람만 유리한 쪽으로 흐르게 된다. 이에 대해서는 본인이 예전에 썼던 을 참조하면 좋을 것이다. 이러한 부분에 대해서 원칙적으로 나의 견해에 동의한다면 수학 논술과 관련된 다음과 같은 점을 생각해 보아야 한다.


2. 수학 문제는 기본적으로 배운 것을 응용하는 문제를 물어보게 된다. 그런데 교육과정을 쉬운 것으로 한정하면 물어볼 문제가 별로 많지 않다. 즉 참고서에 있는 문제가 거의 전부이다. 이런 경우에는 학생들이 공부를 할 때 내용을 이해하지 않고 그냥 케이스별 문제를 외워서 문제를 푼다. 이렇게 가르치는데 선생님들조차 익숙해지면 이런 문제가 아닌 생각해야 풀리는 문제를 출제하면 사람들이 교육과정 밖의 문제라고 한다. 특히 다른 방법을 사용하면 쉽게 풀리는 문제를 내는 경우에는 더 그렇다. 그러나 이것은 조금은 잘못된 생각이다. (뒤의 논의를 참조하세요.) 즉 범위를 고등학교 교육과정 범위로 한정한다는 말은 뜻을 알기 힘든 말이다.


3. 초등학교부터 교육과정에 논술을 가르치자는 것은 물론 매우 좋은 의견이다. 그러나 현실적으로는? 두 가지 문제가 있다. 우선 선생님이 매우 많이 필요하고 또 선생님의 질이 매우 높아져야 한다. 내신도 몇 과목만 보고, 시험의 과목이 줄어들어서 이런 곳에 쓸 수 있는 시간이 많이 늘어나야 한다. 그렇지 못하면 아무도 나중에나 쓰게 될 논술보다는 지금 당장 급한 곳의 공부만 하게 될 것이다.



이제 위에 대하여 조금 부연 설명을 하자.


2.와 관련하여 이야기하면, 고등학교 수학 교과과정은 내가 공부하던 1970년대 초반에 비하여 몇 가지 토픽이 늘어났지만 개개의 깊이는 더 얕아졌다. 공부하는 내용과 양을 비교하면 1970년대에는 소위 우수한 고등학교에서 가장 잘하는 학생들도 고등학교 수학의 내용을 모두 마스터하기가 힘들었다. 특히 고등학교 범위의 문제라고 하면 고등학교의 방법만을 써서 설명할 수 있는 문제이면 시간이 오래 걸려도 문제되지 않는 것이었다. 즉 서울대학교 입학시험의 수학과목 합격자 평균이 발표는 30점이라고 했어도 실제로는 이보다 훨씬 낮았다고 교수님께서 말씀하셨었고, 응시자의 한 30% 정도는 0점이었던 시절이었다. 요즘 시험에 비하면 훨씬 어려운 것이다. (비교가 안되는 것이 풀이를 적어서 partial credit을 받을 수 있는 문제인데도 0점이라는 것은 전혀 한 글자도 못 썼다는 것이므로...) 그 당시의 이런 어려운 문제들도 실제로는 고등학교 교과 과정 내에서 출제된 것이었다.


지금 교과과정의 해석에 대해서 예를 들어보자. 고등학교 교과과정에 예전에는 있다가 지금은 없어진 것으로 원순열이라는 것이 있다. 몇 가지 색깔의 공을 동그랗게 늘어놓았을 때 서로 다른 모양의 갯수를 세는 문제이다. 아마도 이 문제가 고등학교 문제 가운데서 가장 복잡한 기본문제였을 것이다. 이 문제는 어렵다는 이유로 현장 선생님들의 배척을 받아서 기본교육과정에서 제외되었다. (7차 교육과정에서 였다.) 그러나 이것은 정말 말이 되지 않는다.


양쪽 면을 모두 보자. 우선 이 문제를 제외한다면 내가 납득할만한 이유는 단 한가지 있다. 이 문제는 대학의 군론(group theory)를 공부하면 배우는 Burnside의 counting principle이라는 방법을 쓰면 쉽게 계산할 수 있다. 따라서 고등학교에서 대학 과정을 선행학습을 시키게 된다면 빼는 것이 좋다 라고 주장할 수 있다. 이것이 사실이라면 뺄 수도 있겠다. 그러나 이 문제를 고등학교에서 풀 때는 단순히 순열조합의 기본원리인 덧셈법칙과 곱셈법칙, 그리고 경우를 나누는 것을 사용한다. 조금 복잡하지만 고등학교 교과과정의 순열, 조합에서 배운 것을 전부 사용하는 문제로서 이것을 모두 잘 배웠는지를 확인하는 아주 좋은 연습문제이다. 내 견해로는 이것을 푸는 문제를 물어보면 아직도 고등학교 교육과정의 범위의 문제라고 판단된다. 단지 교육부 교육과정 지침에 원순열은 제외한다고 쓰여 있는 것을 확대해석한 사람들이 안된다고 하기는 하지만... (이것도 교육부의 지침은 이 문제를 교과서에 굳이 싣지는 말라는 뜻이라고 보이지, 이 문제가 교육과정의 범위 밖의 문제라는 뜻이라고는 보이지 않는데 말이다.)


그럼 진짜로 대학의 Burnside 법칙을 사용해서 푸는 학생이 있다고 하자. 답만을 쓴다면 실제로 선행학습이 역할을 할 수도 있을지 모른다. 그러나 간단한 풀이 배경을 쓰기로 한다면 실제로 상당히 복잡한 풀이방법 구성에 대하여 써야 하고 이것을 쓸 능력이 있다면 고등학교의 방법보다 훨씬 더 어려운 것을 설명해야 하니 혹시 선행학습을 했더라도 이는 쉬운 일이 아니고, 따라서 절대로 막을 일도 아니라고 보인다. 즉 논술 시험에서는 이런 것을 막을 이유가 없다. 그리고 우리 시절에는 고등학교 선생님들이 고등학교 방법만으로 설명하는 방법을 잘 가르쳐 주셨었다. 지금 선생님들은 왜 그때 선생님들만 못해서 이런 것을 할 수 없다고 하시는지?


이런 문제를 예로 든 이유는 고등학교 교육과정을 잘 이해하면 그 다음 스텝은 이것의 응용일 뿐인 것이다. 즉 범위 밖이라고 불리는 많은 것들은 실제로는 범위 안의 문제들이다. 이것은 너무 당연하다. 우리 교육과정은, 비록 최근에 많은 변화가 있었지만, 그 근간이 되는 예전의 교육과정을 보면 다른 나라도 그대로 사용하는 (특히 일본이 사용하는) 것과 거의 같은 것으로, 매우 훌륭한 교육과정이다. 즉 이것만 공부하면 거의 모든 것을 풀고 거의 모든 것에 적용할 수 있는 교육과정이다. 그러니 이것을 제대로 공부한 사람이면 정말 많은 문제를 풀 수 있다. 단지 이것을 교과서에 있는 문제를 문자 그대로 내는 경우로 제한하는 경우에는 이상해지는 것이다.



3.과 관련하여서, 선생님의 수와 질은 예산이 문제가 된다. 그리고 선생님 수에 대한 해결책은 획기적인 투자 외에는 없다. 그리고 선생님 질에 대한 해결책은 현실적으로 막혀 있는 부분인 대학 박사급 인력이 고등학교에서 교육할 수 있게 되는 것이다. (예를 들어 프랑스는 모든 학교가 공교육이고, 교수나 교사 발령도 국가가 한다. 거기서는 새로 박사를 받으면 일부는 대학에 발령을 받지만 나머지는 고등학교에 발령받아서 몇 년 가르치며 연구를 열심히 해서 대학에 갈 자리를 찾는다.) 이런 변화는 교육학과의 소위 밥그릇과 관련되어서 쉬운 해결책은 안보이고, 따라서 고등학교 선생님의 질적 향상은 불가능해 보인다.


특히 논술과 같은 매우 매우 중요한 읽기, 쓰기 교육이 늘어나려면 학생들이 읽고 생각할 시간이 있어야 하는데 지금처럼 많은 교과과목을 공부하려면 시간이 없다. 옛날 (우리가 공부하던 시절보다 더 전, 1960년대)과 같이 국어, 영어, 수학만 공부하면 입시는 끝나던 시절이 아이디얼하다. 이 문제도 아마 여러 과목 선생님들과 사범대학 각 학과의 밥그릇 문제가 첨예해서 지금은 교육부 장관도 감히 손을 못대는 문제이다. 어쩌면 노무현 대통령 시절에 대통령이 문제를 제대로 이해했다면 이렇게 이상한 방향으로 흐르지는 않았을 것이고, 또 당시 이해찬 장관이 문제를 제대로 이해하기만 했더라도 혹시 무대뽀로 가능했을지도 모르는 것이다. 이 때가 내가 보기에 가장 가능성을 가진 시기였고, 또 가장 크게 실기한 때이기도 하다. 이에 대한 딴지는 사절한다.


결국 대학 입시 문제에서 대학이 쉬운 문제를 내야 한다는 것과, 고등학교에서 논술을 가르치자는 것은 일견 그럴듯 하지만 약간 핵심을 벗어나간 느낌이 든다.

핵심에 가까운 방법은 위에 들었지만 결코 실행하기 쉽지 않고 이것이 해결되지 않는 한 현재 학생들이 마주친 어려운 상황은 풀릴 수 없다고 생각된다. 이것을 알고 있는 현 교육부 장관이 이명박정부의 전폭적인 지지를 가지고도 해결할 수 없다면 나는 불가능한 일이라고 생각한다. 이런 불가능한 문제를 단순히 대학이 어려운 시험문제를 내기 때문이라고 몰아가는 이유가, 언론이 이러한 것을 몰라서라면 언론의 수준이 낮은 책임이고, 언론이  알지만 이렇게 이야기한다면 사람들을 호도하는 것에 불과하다고 하겠다. 


거의 불가능한 것이므로 이야기하지 말자고 하면, 이것은 언론(言論)으로서 또 불가능한 일인가?


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최근에 어떤 교수님의 트윗을 통해서 요즘 유행(!)하는 수학 교과과정 간소화(이것은 내가 임의로 붙인 이름이다)에 대한 글을 읽었다. 이 글은 독일에서 자녀들을 키우고 있는 어떤 학부모가 쓰신 독일의 수학 교육과정에서 불필요한 수학을 많이 빼서 학생들이 우리나라보다 나은 수학을 공부하고 있다는 요지의 글이었다.

내가 놀랍게 생각하는 것은 이분의 생각이 아니라 이에 대해 이와 비슷한 생각을 하는 수학자들도 있다는 것이고, 이에는 조금 혼돈스런 점이 있지 않을까 하여 글을 쓰게 되었다. 이 글에서는 물론 수학, 그리고 기초과학 나아가서는 기초학문분야 전반에 대한 변호가 주된 이야기가 되겠지만 세상이 마음먹은대로 돌아가지 않는다고, 바꿀 수 있는 것은 쉽게쉽게 바꾸는 것이 능사가 아니라고 생각하는 점에 대하여 이야기하려 한다. 물론 필자는 수학 외에는 문외한이므로 수학에 대해서만 이야기할 것이다.



우선 굳이 이분의 글에 딴지걸 생각은 없지만 올려주신 시험지의 내용을 보고 느끼는 점이 많았습니다. 우선 이 시험(수능모의고사에 해당함)을 보니 수학 시험에 시험문제가 3문제였습니다. 우리도 이런 시험을 볼 수 있으면 하고 정말 바라는 식의 시험이고, 현재 내가 소속돼 있는 학교에서 수시 논술시험에 내는 수학시험문제와 유사한 형태지만, 우리 경우 이런 시험문제 위주로 내면 교과부에서 곧바로 지적을 받던가 나아가서 교육부의 재정지원이 줄어들거나 합니다. (우리가 이런 논술시험은 보아도 수능시험으로는 보지 못하는 것은 첫번째가 채점자의 권위가 인정되지 않으면 아무도 채점하려하지 않을 것이기 때문이고, 둘째가 실제로 짧은 시간에 채점하는 것이 불가능한 작업이기 때문입니다.)


즉 시험이 이정도만 되어도 학생들은 지금 우리나라 학교에서 공부하는 것보다 훨씬 더 많은 내용을 이해하고 나가게 될 것입니다. 그리고 이런 시험에 대비해 공부하게 되면 수학이 어렵다고 생각하는 학생은 훨씬 더 늘어날 것입니다. 그 이유는 그냥 공식 몇 개, 그리고 나오기 쉬운 문제 몇 개 외우면 되는 시험이 아니기 때문입니다. 이 시험을 보고 50%라도 점수를 받으려면 시험에 나온 수학 대부분을 이해하지 않으면 안되기 때문이지요. (우리나라 수능 문제의 경우 틀에 박힌 문제들만 맞추어서 50%를 맞추려면 대표적인 문제들의 틀에박힌 풀이법을 외우다시피 하면 됩니다. 물론 어려운 몇 문제를 맞추는 것은 이보다 조금 어렵지만... ) 실제로 독일 시험문제는 아마 우리나라 수능시험에서 제일 어려운 문제와 비슷한 수준일지도 모릅니다. 그러나 5지선다에서 답을 찾는 것과 그 문제의 풀이와 답을 적는 것은 어려운 정도가 수십배가 된다고 해도 과언이 아닐 것입니다. 즉 우리나라는 시험시간에 문제 20개를 푸는 식이지만, 독일은 3문제를 푸는 식이 될 수 밖에 없는 이유이고요. 이렇게 시간을 많이 주는 이유는 단지 답을 적는데 걸리는 시간 때문이 아니라 이런 문제의 풀이를 머리속에서 논리적으로 정리하는데 그리고 그 과정에 결함이 없는지를 생각해보는데 시간이 그만큼 걸리기 때문입니다.


독일 교육과정 내용이 줄었다고 하는 것은 아마도 20세기 후반의 교육에 비해서 줄었다는 것이겠지요. 모든 나라의 대학 교육이 대중교육 형태를 띄면서 그 내용을 줄이는 것이 추세인 듯 생각됩니다. 하지만 수학에서는 그 나라 수학을 이끌어갈 수학 엘리트 교육과 일반인들의 사고능력을 키워줄 일반수학교육으로 이원화해서 생각해야 합니다. (실제로는 몇가지 더 나누어야 하겠지만요.) 우리나라는 이 앞의 부분이 없기 때문에 일반교육이 엘리트교육까지 하느라고 더 혼돈되는 경향이 있습니다. 프랑스의 경우에 보면 이런 엘리트교육을 받고 수학자의 길을 걷게 되는 사람들은 대학에 들어오는 순간에 우리의 대학 2학년 정도까지의 내용을 이미 공부하고 들어오고, 대학을 졸업할 때에는 우리 대학원 석사과정의 기본 내용은 모두 공부를 끝내고 있는 것 같아요. 이는 대학원에서 같이 공부해 보면 알 수 있는 일이지요. 아마 영국도 마찬가지인 것 같습니다. 유럽에서 나오는 대부분의 대학 및 대학원 교과서는 요즈음 우리나라에서 가르치는 것보다 더 수준이 높은 것을 보면 결코 수학의 교육과정이 줄어드는 것처럼 보이지 않습니다. 그러니까 일반인은 수학을 조금 덜 배우도록 하지만 수학이 필요한 사람들에게는 수학을 더 가르치는 것이 아닐까 생각됩니다.


여기서 수학이 필요하다는 것이 무엇인가 하는 생각을 해 봐야 합니다.

어려운 수학을 공부해야 하는 사람에는 수학자 말고도 자연과학, 공학, 그리고 인문과학 등 '과학'과 '공학'이라는 이름이 붙은 전공을 공부해서 써먹겠다는 사람들은 모두 어떤 종류의 수학을 공부해야 합니다. (모든 과목은 아니겠지만요) 그리고 이 수학에는 수학과 통계학 그리고 계산법이 포함됩니다. 전통적인 수학과 통계학 외에 직접 계산해서 답을 낼 수 있는 계산법도 매우 중요한데 여기에는 컴퓨터 프로그램을 써서 원하는 계산을 할 수 있는 것도 생겼습니다. 20세기 후반에 발전된 이 새 방법은 컴퓨터학과에서 배우는 전산과목 내용과는 전혀 다른 것이고요, 수학 프로그램을 활용해서 통계를 내고, 방정식을 풀고 하는 것입니다. 손으로는 절대 할 수 없는 것을 하는 것이지요. 이것을 해 보면 프로그램을 쓸 수 있는가 없는가는 수학을 얼마나 잘 이해하는가에 달렸다는 것을 알 수 있어요. 즉 몇 가지 틀에 박힌 문제를 풀수 있는가는 별 도움이 안되고 수학 및 논리적으로 합당한 방법을 스스로 찾아내는 것이 핵심인 것이지요. 계산은 컴퓨터에게 맡기고...

이런것을 하려 하면 수학에서 필요없다고 버릴 내용은 없게 됩니다. 그리고 이런것을 해야 하는 학생들은 우리학교 1년 입학생 5000명 중에서 적어도 4000명정도에 해당합니다.  물론 이 학생들이 모두 나와서 이런 일을 할지는 모르지만 그렇다고 이 공부를 하러 들어온 학생들에게 나중에 필요없을지도 모르니 공부하지 말아라 할 수도 없는 것이고, 고등학생들이 이런 학과에 들어가려고 노력하는데 너희들 중에서 90%는 나중에 수학을 안 쓸테니 공부도 10%만 해라 할 수도 없는 것이지요. 그러니까 진로를 미리 결정할수만 있다면 수학공부를 많이 줄여줄 수도 있고 더 실용적인 수학을 가르쳐줄 수도 있겠지만 불가능한 일 같습니다.


그러면 어떻게 교육해야 할 것인가? 이것은 정말 어려운 질문입니다. 가르쳐보면 볼수록 점점 더 답이 없어지는 것이기도 하고요.  우리나라 수학 교육은 입시준비를 위한 교육과 창의력을 가진 인재를 키우기 위한 두 가지 교육으로 나뉘어 있습니다. 모든 곳에서 목표는 두번째 것을 내세우지만 실제 교육은 첫번째 것에 맞추어 하고 있죠. 어떤 경우에는 이 두가지를 혼동하기도 합니다. 이것의 괴리를 없애지 않으면 독일같은 교육은 되기 힘들겁니다.


하지만 몇 가지 중요한 점이 있습니다. 우선 어떤 선생님이 가르쳐야 하는가 하는 것인데, 입시 준비가 아니라면 하는 가정을 하고 이야기하지요. 이 경우 학생을 가르치기 어려운 정도는 아래로 내려갈수록 더 어렵습니다. 극단적으로 대학원에서 학생들에게 강의할 때는 자기가 강의하는 전공의 내용만 잘 알면 강의할 수 있습니다. 그래서 대학원 전공과목들은 젊은 박사들도 잘 가르칩니다. 그러나 학부 과목을 창의적인 관점에서 가르치려면 수학 전반을 잘 알아야 합니다. 이것이 밑으로 내려와서 초등학교로 내려가면, 수학의 내용은 쉬워보이지만 그 내용은 수학 전체가 뭉뚱그려서 나타나고, 여기서 학생들의 창의적인 생각을 알아보려면 대학과 대학원 수학을 다 알아야 그런 것이 보이기 시작하고, 그리고도 학생들의 심리적인 부분이 매우 중요한 역할을 하므로 이것은 정말 뛰어난 선생님이 아니면 안 됩니다. 그래서 초등학생 때에 이러한 것을 모두 잘 아는 사람과 접할 수 있으면 나중에 공부하는데 정말 큰 도움이 될 것입니다. 그러나 현실은 이와 반대이지요. 초, 중등 학교 선생님들은 학생 심리를 잘 알지만 고등수학은 전혀 모르기도 하고, 고등수학을 알아도 핵심은 모르는채 문제만 풀줄 알거나, 수학은 잘 하는데 심리를 몰라서 학생들과 부닥치기도 하고...


초등학교의 교육을 조금이라도 ideal하게 바꾸어 보려는 노력이 공부하는 내용을 좀 줄이고 대신 생각하고 토론하는 시간을 늘려보려는 시도라고 생각됩니다. 독일이 어쩌면 이런 것을 하고 있는 것일지도 모른다고 생각합니다. 그러나 이런 변화의 핵심은 선생님이 준비되었는가 하는 것입니다. 고등수학을 잘 모르면 창의적인 생각을 하는 학생들을 어떤 방향으로 이끌것인지를 알 수가 없지요. 수업시간에 어떤 생각이 나서 물어봤다가 선생님한테 야단만 맞은 경험을 가진 사람은 많을 거예요. 선생님이 준비되지 않은 경우에는 이런 일이 일어나는 경우도 있습니다.


이런 단편적인 생각만으로도 독일에서 교육의 변화가 실제로 수학을 조금만 공부하자는 것인지 잘 알 수 없게 됩니다.


이 분이 쓰신 글 가운데 독일에서 정치, 사회 교육으로 학생들에게 입센의 드라마를 보고 토론/레포트를 내주는 것에 대한 이야기가 있습니다. 이 숙제의 포인트가 민주주의에서 소수, 특히 문제를 제대로 파악하는 소수의 중요성을 간과하기 쉽다는 점을 지적하는 것이라고 글에 쓰시고 있습니다. 수학 교육도 이와 마찬가지로 현상을 제대로 파악하는 소수의 의견이 매우 중요하고, 이를 소수로 만들지 않으려면 이 상황을 모두가 스스로 이해해내는 것이 필요하다고 하겠습니다.


수학에 대해서 제가 잘 하는 말이 있습니다. 수학자는 정치가와 달라서 대부분 아무런 권력도 추구하지 않습니다. 러시아의 어떤 수학자처럼 명예도 헌신짝처럼 내버리기도 합니다. 이런 사람들이 공부하는 것이 어째서 모든 나라의 시험의 첫머리에 올라가는지? 모든나라의 교육과정에서 가장 많은 시간을 차지하는지? 어째서 오바마가 수학이 국력이라고 외치는지? 이 모든 것이 수학자의 정치력이나 권력에서 나오는 것이 전혀 아니라는 점은 명백합니다. 구체적으로 설명하지는 못하더라도 수학이 꼭 필요하다는 것을 경험으로 알고 있기 때문입니다. 


그리고 수학은 어디까지만 공부하면 된다는 것도 없습니다. 어느 누구에게도 평생을 살면서 필요없는 수학은 없습니다. 다른 학문은 물론 같은 기초과학에서도 필요없는 물리나 필요없는 화학은 있을지 몰라도 필요없는 수학은 생각하기 힘듭니다. 수학은 언어와 유사하고 어느 나라나 언어와 수학은 교육의 기본입니다.


모든 나라가 수학을 최대한 가르치기 위해서 효율적인 방법을 찾고 있습니다. 그러다 보니까 초, 중등학교에서는 내용을 많이 가르치기 보다는 수학으로 생각하는 법을 많이 가르치려 변화하고 있다고 보입니다. 이는 추상적인 수학으로 현재 배척받는 20세기 프랑스의 부르바키 수학을 현실 응용 가능하게 가르치려는 방향으로 움직이는 것은 아닌가 하는 생각이 드는 부분입니다. 지금 우리가 하고 있는 수학 교육은 여러가지 심리학적 이론이 끼어들기는 했지만 19세기 말까지 미국에서 추구했던 실용수학을 20세기 수학 기반 위에 다시 세우는 것과 비슷합니다. 그리고 현재의 변화는 100년 전 20세기 초의 새로운 수학 교육 물결과 마찬가지로 현재 알고 있는 이론에 맞춘 새로운 수학 교육을 시도하는 것일 수 있고, 이는 수학이 쉬워지는 것이 전혀 아닐 것이리라고 생각되는 이유입니다.


어떤 경우에도 우리 개개인이 공부에 투자하는 노력의 총량은 변하지 않습니다. 사람은 할 수 있는 최대한의 공부를 하게 되어 있습니다. 이 노력을 투자해서 최선의 결과를 얻으려면 공부의 효율성을 높여야하는 것은 당연합니다. 우리 교육체계는 조금만 가르치는데는 효율이 높은 형태이지만 많이 가르치려면 효율이 낮습니다. 독일은 많이 가르치는데서 우리보다 효율성이 높은 체계를 가지고 있다고 보입니다.


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  • 박상빈 2012.04.16 02:40  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    제 생각에는 교육제도도 중요하지만 더 중요한 것은 국가차원에서 하는 수학관련 종사자 분들의 지원입니다. 나라에서 제대로 된 지원이 없다보니 이쪽 분야에 지원하는 사람이 드물고, 사람들이 수학을 바라보는 시선은 언제나 시험의 수단에서 발전하질 않으니, 제대로 된 문제제기조차 이루어지지 않는 것 같습니다. 일본 같은 경우 입시제도나 수학교육에서 우리나라와 별 차이가 없고 입시에 대한 경쟁은 더 심하지만, 이공계에 대한 지원이 좋다보니 비슷한 교육을 하더라도 전혀 다른 결과가 나오는 것 같습니다. 일단 나라의 지원이 가장 중요하다고 생각이 듭니다.

  • 홍혜진 2012.05.26 14:58  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    평소 우리나라 수학 교육에 대해 생각하고 있던 제 생각을 교수님이 마치 제 맘 속에 들어 있는 듯 표현하신 것 같아 반갑고 공감됩니다. 수학자들도 수학을 표현함에는 소설가나 시인과 같이 수학교육을 진지하게 생각하는 사람들을 대변해 주시나 봅니다

지난 학기 강의에 대한 "강의 평가와 소감"을 읽은 소감을 정리해본다.

우선 이번 학기에 강의한 두 강의의 전체적인 평가 점수는 수학과 전체 평균보다는 조금 낮고 이과대학 전체평균 보다는 조금 높다. 뭐 그리 중요한 내용이 있는 문항이 아니므로 그리 크게 신경쓰지는 않는다. 그러나 개방형 설문 1, 2번 문항은 학생들의 소감이 구체적으로 적혀 있으므로 궁금한 점이 있다. 특히 여기서 듣게 되는 내용은 강의에 반영하게 되는 경우도 있다. 

1번 문항은 수업에 대한 소감이고, 2번 문항은 수업에 대한 건의이다.
이에 대한 소감 가운데 강의에 positive한 것을 제외하고 몇 가지를 뽑아 변명을 해 둔다.

우선 기하학 개론을 보자. 이번학기는 학생수가 적어서 강의만의 강의를 조금 벗어난 점이 있다. 시작부터 강의 내용을 예전보다 적게 잡았다. 몰아쳐나가는 수업으로는 조금 많은 수학을 가르쳐주기는 하지만 학생들은 얻는 것이 더 많다고 할 수는 없다. 건국대나 중앙대에서 내 강의록으로 강의하신 교수님들의 조언이 내용이 너무 많고 뒷부분이 어려워서 전체의 반 정도만 강의하면 알맞았다고 하시므로, 나도 반 정도에 조금 다른 말들을 추가하는 것을 시험해보았다.

  • 너무 어려웠다. 
  • 수업이 체계적이지 못하고 수업시간에 비해서 직접적인 수업내용이 많지 않았다고 생각합니다. 한시간 반 내내 수업과 관련없는 이야기를 한 적도 있었고, 반정도만 수업과 관련된 이야기를 한적도 많았습니다. 

너무 어렵다는 것은 이 강의 내용을 못 알아들었다는 말이다. 강의를 못 알아듣는 학생이 있는 것은 어쩔 수 없는 일이다. 모든 사람을 동시에 똑같이 이해시키는 것은 불가능하다. 최소한의 내용을 알아들어도 자신의 기대와 비교해서 말하는 것은 못알아들었다는 것이 될 수 있다.

그러나 두번째 소감은 조금 다르다. 이것은 강의에서 기대한 것이 전혀 다른 것이었다는 뜻이다. 다른 학생들도 모두 강의에서 내가한 이야기들을 기대하고 들어온 것은 아닐 것이다. 그러나 어떤 학생들은 그것을 좋아하고 어떤 학생들은 그것이 싫다. 특히 쓸데 없는 이야기라고 생각되는 것이 많다고 하는 학생은 나쁜 학생이 아니다. 단지 그가 말하는 내가 한 쓸데 없는 이야기는 그 강의의 내용이 아니라 조금 긴 시간 동안의 공부에 도움이 되는 이야기라고 생각되는 것이다. 이미 그것을 알거나 느끼고 있다면 그에게는 쓸데 없는 이야기일 것이다. 그 학생은 단지 참을성이 부족한 것일지도... 아니라면 공부를 항상 잘 해서 이런 이야기의 필요성을 느끼지 못하거나...

한편 교양과목에서의 소감을 보자.

  • 감사합니다 그런데 출석체크를하는 수업이었다면 좀더 학생들이 적극적일거같아요.

출석 체크는 잘 안한다. 체크하면 출석률은 올라가지만 학생들은 들어와서 다른 짓을 하고 강의를 흐트러트린다. 대학에서는 출석 만큼은 자신이 컨트럴할 준비가 되어 있어야 한다고 믿고 있다. 어떤 이유에서든지 못 들어온다면 그 책임은 자기가 지는 것이 되어야 한다고 생각한다.

  • 글쎄요. 과연 교수님의 논리가 법이고 진리일까요?

이것은 무엇인가 자신의 의견이 반영되지 않았기 때문인 것 같다. 그러나 이 강의에서는 이럴 부분이 거의 없다. 내가 요구하는 것은 전체적으로 과목의 제목에 해당되는 것이면 어떤 토픽을 잡아 공부하고 발표해도 되고, 또 연구해서 설명하는 내용은 합리적이기만 하면 어떠한 아이디어도 새로운 아이디어를 반긴다는 강의이니까.
  이 강의에서는 나의 논리를 강요한 적은 없다고 생각되니까, 어쩌면 질문은 "과연 논리가 법이고 진리일까요?"였다면 하고 생각한다. 이런 경우라면, 이 강의에서는 논리를 train하자는 것이지 논리가 옳다고 주장하고 주입시키려는 것은 아니니까 이 질문은 잘못된 것이 당연하다고 하겠다. (배워본 다음에 자신이 믿고 쓸 것인지 버릴 것인지는 자신의 몫이므로...)

  • 교수님 목소리가 약간 작으신편이라서 뒤쪽에 앉을 때는 가끔 안들릴 경우도 있었습니다. 이 점을 보충해주셨으면 좋겠습니다.

이 점은 예전에 항상 지적당하던 것이었다. 우선 목소리는 귀가 예민한 사람은 작게 내고 귀가 무딘 사람은 크게 낸다고 생각한다. (귀에 이어폰을 끼고 이야기를 하면 누구나 무의식중에 목소리가 커지는 것을 경험한다.) 자신의 약점을 잘 알고 있으므로 이 강의에서도 마이크를 사용했다. 물론 마이크를 못 사용한 경우도 몇 번 있었지만 이것이라면 원래 강의가 계획된 시간이 아니었는데 몇분 이야기를 해야 하는 경우였을 것이고 어쩔 수 없겠다.
  그러나 이것 외에도 이점을 잘 알고 있어서 강의 시작때는 잘 안들린다고 생각하는 사람은 될 수 있으면 앞쪽에 앉으라는 이야기를 여러번 했다. 이 이야기를 무시한 것일까? 못 들은 사람도 있을 것이다만.

  • 그룹은 원하는 사람들끼리 짝지어 주시는 것이 좋지 않을까 생각합니다. 조원과의 마찰이 한 학기를 너무 괴롭혔습니다.

이것은 처음에 설명했고 그리고 강의 웹페이지에 써있는 강의방침이다. 자기가 좋아하는 사람과 조를 짜면 좋은 점이 있지만 학점만을 위해서 같이가는 쪽으로 발전할 뿐 모르는 사람과 조율하면서 일해나가는 법을 익힐 수는 없다. 물론 일이란 자신이 좋아하는 사람과 하는 것이지만 항상 마음에 맞게 일을 나눌 수는 없다. 이런 경우에도 적절하게 같이 일하는 사람과 잘 이야기하고 적절하게 일을 나누는 것은 경험이 필요하다.
  특히 잘 아는 사람이 없는 학생과는 형평성 문제가 제기된다. 그래서 항상 무작위로 학생을 선택하고 될 수 있으면 연령대, 학과 등이 서로 다른 학생들이 한 팀이 되도록 짠다. 그 대신 조의 일을 하는데 불공정한 점이 있으면 각자의 personal report에 적을 수 있고 이를 성적에 반영하고 있다. 이것도 학생들에게 학기초에 이야기하였고 또 web site에 설명이 있으니 강의에 대해서 제대로 듣지 않은 경우일 것이다.

이런 강의의 가장 어려운 점은 시험을 보지 않으므로 (볼 수 없으므로) report를 평가하는 일이다. 실제로 평가에 대한 좋은 지침은 가지고 있지만 실제로는 절대로 완벽하지 못한 report를 읽고 평가하는 것은 어렵다. 읽는데 시간도 많이 걸리고, 애매한데서 학생들의 생각을 읽어내야 하기 때문이다. 이런 강의가 재미있기는 하지만 쉬운 강의는 수학을 가르쳐주고 시험을 보아 성적을 딱딱 내는 것이다. 얼마나 배웠는지, 얼마나 알고 있는지가 비교적 분명하게 나오는 것이 쉽다.

다음 학기는 이런 강의를 두개 한다. 쉽기만 하면 재미 없으니까 내가 어려워할 것을 만들어 넣는다. 이번 학기에는 강의 교재를 새로 만들 기초 작업을 한다고 생각한다. 적어도 한 강의는 새로운 방식으로 내용을 구성할 것이다. 겉보기 모양을 바꾸는 쪽이 되겠지만 뭐 그것도 상당히 어려운 작업이 될 것이다. 이미 학기 시작이 한달 정도밖에 안 남아 있으니까 바쁜 일이 되겠지. 어째 방학이 점점 더 바빠져간다.


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