Beauty of Surfaces 곡면의 아름다움

* 오래 전에 번역했던 글을 옮긴다. 원래 나의 홈페이지에 있었는데 사정상 홈페이지가 변경되고 글을 옮겨두지 못했다. 후카야 교수의 허락을 받은 번역은 아니다. 이 것을 보고 후카야 교수의 글을 읽는 사람이 많이 생겼으면 한다. 이 책은 일본의 젊은 수학자(기하학자)인 후카야 켄지 교수가 쓴 책을 번역한 것이다. 이 책의 번역을 써 두는 것은 우선 내가 읽고 싶기 때문이다. 여러번에 걸쳐서 읽고 싶은 책이지만 일본말을 모르는 나로서는 원서를 두 번씩 사전을 찾아가며 읽을 수는 없다. 그래서 이렇게 번역한 것을 적어두기로 한다. 혹시 일본말을 모르는 사람들이 후카야 교수의 생각을 접할 수 있는 기회가 된다면 더할 나위가 없을 것이다. 수학자의 시점(視点)후카야 켄지(Fukaya Kenji) 머리말 이 책은..

페친분을 통해 읽게 된 어떤 글에서 이 분야 박사 한 분이 미래의 인공지능에 대하여 말씀한 것이 있다. 미래에는 인공지능을 모든 사람이 사용하게 될텐데 모두 수학을 공부할 수 없을 것이고 인공지능은 누구나 사용할 수 있게 되어서 어려운 수학공부는 필요 없고 인공지능을 활용해서 자신이 하는 일, 또는 사업에 어떻게 활용할지를 공부해야 한다는 것이다. 특히 인공지능들은 지금과는 달리 (마치 통계패키지처럼) 바로 쓸 수 있게 만들어질 것이기 때문에 활용이 가장 중요하다는 것이었다. 우선 인공지능의 활용이 가장 중요하다는 점에는 이견의 여지가 없다. 사용할 것이 아니면 뭣하러 배우겠는가? 하지만 위의 견해는 한 가지 가정을 하고 있다. 즉 인공지능이 가르쳐주는 것을 이해하는 것이 어렵지 않을 것이라는 점이다. ..

페북 수학그룹에 올라온 질문 중에 "고교 수학 교육과정을 따라가며 힘들거나 아쉬웠던 부분"에 대해 질문한 것이 있다. 많은 사람들이 대답을 해서 댓글이 많이 달렸는데 댓글마다 여러 이야기가 있다. 이 중의 몇 개에 대한 댓글을 여기다 단다. (순서는 대략 댓글 순서다.) 기하에서 보조선 긋기 기하에 보조선을 긋는 방법을 설명해 주지 않아서 답답하다는 것이 여러 사람이 느끼는 것일 것이다. 기하의 보조선 긋기는 왜 중, 고등학교에서 배우는가 하면 이렇습니다. 이것 자체는 우리가 실생활에 꼭 필요한 것은 아닙니다. 우리가 논증기하와 보조선에 의존하는 기하를 배우는 목표로 2차원, 3차원 공간지각능력을 키우는 것이 매우 중요하기는 합니다. 그러나 이것 뿐이 아니라 더 중요한 것이 있습니다. 이는 꼭 필요한 능..

오늘 새벽에 페북에 데이터 분석을 하려면 수학을 얼마나 공부해야 하나 하는 질문이 있었다. 아마 모든 사람들이 궁금해 하는 질문일텐데 대부분 조금만 하면 좋겠는데 무엇을 해야 하는가가 궁금할 것이다. 데이터 분석에 관심이 부쩍 늘어나는 중이라 나도 이 질문의 답이 궁금하다. 답글 달린 것처럼 많이 알면 좋겠지만 시간이 부족하니... 인터넷을 통해서 알게 된 웹페이지 하나를 보면 몇 가지 수학을 들고 있다. pie chart를 써서 나타내 준 것에는... linear algebra, prabability, statistics, multivariate calculus, algorithm & complexity 등등이 있다고 되어 있다. 이것은 아마도 누구나 알아야 하는 것이겠다. 앞의 세 가지는 꼭 필요한 ..

안그래도 미래를 계획하는 공부를 하고 있는 중이다. 필요한 일이 있기도 하다. 요즘 읽어보는 글들을 보면 미래를 사는 사람들은 자신의 생애에 평균 10번도 넘게 직업을 바꿀거라고 한다. 어떻게 그런 예측을 하는지 잘 모르겠지만 지금 추세대로라면 그런 일이 벌어진다고 놀라지 않을 듯하다. 그런데 수학을 가르치면서 보면 요즘 학생들은 꼭 필요한 공부만 쏙 빼놓고 하고 있다는 느낌이 든다. 미래를 살려면 무엇을 알아야 할까? 미래에도 수학공부를 해야 하나? 미래에 잘 산다는 것은 어떤 것일까? 이런 질문을 해 보지만 알 수 있는 것은 하나도 없다. 페북에서 본 어떤 미래학자가 이야기한 것처럼 지금은 사회가 대대적으로 변하는 변혁기이다. 아마도 르네상스가 시작하던 시기, 산업혁명으로 정신없던 시기, 조선이 생기..

수학과 교수를 30년 넘게 했다. 다음 링크의 글이 수학과 졸업 후의 진로의 실상과 허상을 이야기한다. 사실이든 아니든 이 글은 상당히 설득력 있다. 현장을 몰라서 이런 생각을 못하는 것이 아닐 것이다. 수학이 무엇인가를 알게 되고 이것으로 무엇을 할 수 있는지를 생각해 보면 이 글의 내용이 상당히 그럴듯하다는 것을 알게 된다. 비록 미국에서 가장 좋은 직업이 수학과 졸업생에게 열려있다는 보도가 몇 년째 계속되고 있지만... 결론만 이야기한다면 우리나라에서 수학을 전공하고 졸업하면 핑크빛 미래가 열려있는가 하면 결코 그렇지 않다. 그러면 무엇이 미국과 다른가? 순수수학자로서 볼 때 우리나라에서 교육받은 수학자로서 외국과 경쟁력을 가지려면 우리나라 교육이 한 단계 도약하여야 한다. 순수수학은 국내에서 경쟁..

페북에 올라온 질문 중에 카테고리 이론(Category Theory)이 어떤 이유에서 만들어진 것인지 모르겠다는 질문이 올라왔다. 이 이론은 20세기 중반에 Homology 이론이 만들어지고 나서 우리가 수학에서 이론을 만든다는 것에 Homology 이론이 그 전범이 된다고 생각하여, 이렇게 한 가지 대상을 이해하기 위하여 우리가 잘 아는 다른 대상과 사이에 구조적인 동일형태관계를 맺고 그 두 번째 대상을 통하여 문제의 대상을 이해한다는 도식을 (메타)수학 이론으로 정리한 것이라고 생각할 수 있다. 20세기 전반부에는 수학을 이해하는 도구로는 집합론을 꼽을 수 있다. 이것은 수학의 이론이란 것은 모두 어떤 대상을 가지고 있는데 이 대상의 모임을 집합이라 부르고 각각의 대상은 이 집합의 원소로 보는 방법이..

페북에 김모군이 수학을 이해한다는 것이 어떤 것인가 하는 글을 올렸다. 세 가지 경우를 제시하고 이 중 어느 정도이면 이해했다고 할 수 있는가 하는 질문이었다. 그 세 가지는 첫 줄만 옮기면 다음과 같다.연역적 논리 전개 과정을 따라갈 수 있으면 이해한 것이다.전체적인 증명 과정이 머리속에 자연스럽게 그려져야한다.직관적으로 그 명제가 참이라는 것을 이해할 수 있어야 한다.이 세 가지에 대해서 긴 설명을 덧붙였지만 여기서는 생략하기로 한다. 그리고 이 세 가지보다 더 많은 단계를 경험해 보았지만... 여기서는 이해한다는 것에 대해 내가 느끼는 점을 적어본다. 수학을 공부하면서 항상 목표로 하고 있는 것은 공부한 내용을 이해하겠다는 것이고, 학생시절에 나도 위의 세 가지 등을 가지고 여러 가지 생각을 했다...

최근에 포항공대 박형주 교수님이 국가수리연의 수학원리응용센터장으로 부임하셨다. 이 기회에 박교수님을 인터뷰한 기사가 실렸다. 이 기사는 수학이 나라 발전에 얼마나 중요한가 하는 것을 박교수님의 이야기를 통해 잘 소개하고 있다.

준용이가 고등학생 문제 풀어주다가 \( 2 \times 2 \) 행렬의 \( n \) 승 멱이 가지는 성질을 발견했다고 해서 증명을 어찌하는가 생각해 보았는데... 아마 이미 많은 사람이 알고 있겠지만... TeX을 사용해서 이 블로그에 쓸 수 있으니까 오랜만에 한 번 써보자. 근데 AMSTeX 명령도 듣나? 문제는 \( A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) 라고 하면 \( A^n \) 의 두 entry에 대해서 \( a_{12}:a_{21}= b:c \) 라는 것이다. \[ A^{n-1}=\begin{pmatrix} e & \alpha b \\ \alpha c & f \end{pmatrix} \] 라고 하자. 그러니까 수학적 귀납법을 써서 \( A^{..