Q: 저의 궁금증은 수학에서의 확률과는 거리가 있다고 생각합니다.
주사위를 던질때 나올수 있는경우 그 많은 결과를 어떻게 구하는가, 수학에서는 이상적인 주사위를 생각하여 주사위를 던질때 나올수 있는 결과는 단 6가지 로 만든다.
현실에서는 아주 많다.
그리고, 왜 주사위가 모서리쪽으로 꼿힐 경우는 왜 드문가 왜.
주사위를 던질때 왜 각각의 눈이 나올비율은 왜1/6에 가까이 가는가.
로 정리할수 있을 것 같습니다.
한번더 정리하면..
확률의 2가지 정의는 이러하다.
첫째, 특정 사건후 결과 특정 결과가 일어날거라고 기대할정도는 특정사건후 일어날수 있는 모든 경우의 수를 분모에 특정 결과가 일어날수 있는 방법은 분자에 써 구한다.
둘, 어떤 행위를 반복하면 동전을 던진다는지... 아주 많이 반복하면 일정한 규칙이 나타난다. 동전을 아주 많이 던지면 앞면과 뒷면이 나오는경우가 거의 같아진다.즉 아주 많이 반복했을떄 특정결과는 특정 비율에 가까워진다 주사위를 아주 많이 던졌을 때 1의 눈이 나온다라는 결과의 비율은 1/6에 가까워진다.
첫째 정의에서의 의문은 분모에 쓸 모든경우를 어떻게 구하는가(수학이 아닌세계에서 이상적인 주사위는없으니.. 분명 아주아주 많은 결과를 생각할수 있을 것이다.)
또 왜 특정 결과는 덜 나온다고 하는가. 예를들어 동전을 던졌을 때, 스는경우는 드무니 생략한다고 하는데 그게 왜 드문가. 수학의 세계에서는 이상적인 동전을 2차원 원으로 생각하여 의문을 빠져나가지만 수학이 아닌경우 어떻게 하는가.
A: 이 문제는 초등학교 수준의 질문은 아닌 것 같군요.
우선 확률의 문제는 조금 정리하고 생각하여야 할것입니다. 수학의 확률은 확률의 이론입니다. 이 경우는 확률이 무엇인지는 이미 알고 있는 상황에서 여러 확률 사이의 관계를 연구하고 이용하는 것이 수학의 확률이라는 것입니다. 따라서 여기서 물어보는 것과 같이 어떤 특정한 경우의 실제 확률이 왜 이러한 값인가 하는 것은 수학에서 할 질문이 아닙니다.
동전의 경우에 앞 뒷면이 나올 확률이 같다는 것은 아무도 알 수 없습니다. 수학에서는 이상적인 동전이라고 하여서 앞 뒷면이 나올 확률이 같은 동전이라면 하고 가정하고서 문제를 시작합니다. 이 때 또 동전이 설 확률은 영이라고 설정하고 합니다. 실제로 왜 그런가는 어떤 분의 말씀대로 물리학의 이론이 될 것입니다.
그러나 이것도 물리학의 이론일 뿐이고 실제 현상이 왜 또는 정말로 물리학의 이론과 맞는가 라고 물어보면 대답할 수가 없습니다. 따라서 실제로 해 보아서 확률을 찾아야 합니다. 그 방법은 통계를 쓰는 것인데... 실제로 동전을 많이 던져봅니다. 그러면 동전의 앞면과 뒷면이 나오는 경우는 반 반으로 되어 갑니다.
이제 이 동전을 던질 때 마다 앞면과 뒷면이 나올 확률은 (같을지는 몰라도) 일정하다고 가정합니다.(물론 이 가정도 실제로 맞는지 알 수는 없습니다.) 그리고 이러한 반복시행에서 앞의 결과가 뒤의 결과에 영향을 미치지 않는다고 가정합니다.(이것도 틀릴 수 있습니다) 그러면 이러한 반복시행을 할 때 그 횟수에 따른 확률이 1/2에 수렴하려면 원래도 그랬어야 한다는 것은 수학으로 알 수 있을겁니다.
이제 이러한 반복시행을 10000번 해서 앞 뒷면의 경우가 반반이라는 결론을 얻었다고 해도 이 사실만으로 계속해서 시행할 때 더욱 더 반반에 수렴하리라는 보장은 없습니다. 따라서 통계적으로 어느 정도의 유의수준 아래서 10000번의 시행 결과를 보고 그러한 결론을 얻을 수 밖에는 없습니다.
우선 확률의 문제는 조금 정리하고 생각하여야 할것입니다. 수학의 확률은 확률의 이론입니다. 이 경우는 확률이 무엇인지는 이미 알고 있는 상황에서 여러 확률 사이의 관계를 연구하고 이용하는 것이 수학의 확률이라는 것입니다. 따라서 여기서 물어보는 것과 같이 어떤 특정한 경우의 실제 확률이 왜 이러한 값인가 하는 것은 수학에서 할 질문이 아닙니다.
동전의 경우에 앞 뒷면이 나올 확률이 같다는 것은 아무도 알 수 없습니다. 수학에서는 이상적인 동전이라고 하여서 앞 뒷면이 나올 확률이 같은 동전이라면 하고 가정하고서 문제를 시작합니다. 이 때 또 동전이 설 확률은 영이라고 설정하고 합니다. 실제로 왜 그런가는 어떤 분의 말씀대로 물리학의 이론이 될 것입니다.
그러나 이것도 물리학의 이론일 뿐이고 실제 현상이 왜 또는 정말로 물리학의 이론과 맞는가 라고 물어보면 대답할 수가 없습니다. 따라서 실제로 해 보아서 확률을 찾아야 합니다. 그 방법은 통계를 쓰는 것인데... 실제로 동전을 많이 던져봅니다. 그러면 동전의 앞면과 뒷면이 나오는 경우는 반 반으로 되어 갑니다.
이제 이 동전을 던질 때 마다 앞면과 뒷면이 나올 확률은 (같을지는 몰라도) 일정하다고 가정합니다.(물론 이 가정도 실제로 맞는지 알 수는 없습니다.) 그리고 이러한 반복시행에서 앞의 결과가 뒤의 결과에 영향을 미치지 않는다고 가정합니다.(이것도 틀릴 수 있습니다) 그러면 이러한 반복시행을 할 때 그 횟수에 따른 확률이 1/2에 수렴하려면 원래도 그랬어야 한다는 것은 수학으로 알 수 있을겁니다.
이제 이러한 반복시행을 10000번 해서 앞 뒷면의 경우가 반반이라는 결론을 얻었다고 해도 이 사실만으로 계속해서 시행할 때 더욱 더 반반에 수렴하리라는 보장은 없습니다. 따라서 통계적으로 어느 정도의 유의수준 아래서 10000번의 시행 결과를 보고 그러한 결론을 얻을 수 밖에는 없습니다.
Q: 또 주사위를 던져 1의 눈이 나온다 1의 눈이 나오지 않는다로 생각하여 각각의 확률을 1/2로 생각할때의 문제점이 정확히 무엇인지 알고싶다.이에 대한 답변에 각각의 경우 가능성이 다르기 때문이다 라는 말을 들은적이 있는데 이렇게 단순히는 이해가 안간다.
A: 1이 나온다와 나오지 않는다 두 경우로 나눌 때는 이 두 경우의 확률이 서로 같다는 것은 어떻게 알 수 있습니까? 물론 주사위에서 1 - 6 까지의 눈이 모두 같은 정도의 확률로 나오는 것은 어떻게 알 수 있느냐 와 같은 질문입니다. 이 두 질문에 대해서 실제 주사위의 경우의 답은 알 수 없다 입니다. 실제로 위와 같이 실험을 하고 통계를 내 보아야만 근사치의 답을 얻을 수 있을 뿐입니다.
그러나 수학 문제에서는 공정한 주사위라고 가정하고 이야기 합니다.(아무 말도 없으면 공정한 주사위라는 뜻입니다) 이 경우는 1의 눈이 나올 확률은 1/6입니다.
(한편 실제 주사위의 경우에는 1이 나올 확률이 거의 1/2 이 되도록 만들 수도 있을겁니다.)
계속되는 질문과 답글도 함께 싣습니다.
그러나 수학 문제에서는 공정한 주사위라고 가정하고 이야기 합니다.(아무 말도 없으면 공정한 주사위라는 뜻입니다) 이 경우는 1의 눈이 나올 확률은 1/6입니다.
(한편 실제 주사위의 경우에는 1이 나올 확률이 거의 1/2 이 되도록 만들 수도 있을겁니다.)
계속되는 질문과 답글도 함께 싣습니다.
우선 답변해주신점 감사드립니다. 사실 저도 그렇게 결론을 내리려 했는데 저혼자서 그랬다간 큰일날일 아닙니까 읽던 책도 덮어두고 답변만 기다렸는데 다행입니다.
Q: 저는 수학에서 실용성이란것에 대한 논의를 별로 좋아하지 않고 꼭 실용할수있지 않아도 상관없다고 생각하는 사람이지만 이 확률 이라는게 원래 실생활에서 유래한 걸로 알고있고있는데. 그렇게 이것저것 받아드리기를 요청하는 가정들로 채워있는 수학의확률이론을 받아드려야 할지 고민이군요. 실용은 상관없다해도 확률을 공부하며 무슨 지적 만족이라도 줄수있는지 의문이네요.
A: 수학의 이론이 아무리 추상적이라 하더라도 실용적이지 못하면 아무 소용이 없습니다. 물론 어떤 수학 이론은 아무도 실용적으로 사용하는 일이 없는 것 처럼 보이지만 그것도 나름대로 숨어있는 실용성이 있게 마련이지요.
우선 확률뿐이 아니라 어느 수학이론도 가정으로 채워져 있기는 마찬가지이지요. 보통 미적분학은 실수에 대한 많은 가정 위에 서 있고요. 미분방정식도 대수학도 모두 다 그렇습니다. (예를 들어 1+1=2를 실생활에서 사과를 하나씩 두번 먹으면 두개 먹는것이다 라고 활용한다고 할 때, 이 수식은 수학의 이론이고 현실의 사과 문제는 이 이론을 적용한 것이지요. 이 때 주어진 두 사과가 똑같지 않고 한 쪽이 좀 무거우면 두 사과를 다 1이라고 해도 되는 것인가 라고 하는 문제가 생깁니다.)
이 문제에 대한 수학의 견해는 1+1=2라는 식은 추상적인 개념으로서 수의 연산에 대한 성질이라고 이해하는 것이고 현실의 사과는 이러한 연산법칙을 적용할 수 있는 대상이라고 받아들일 수 있을 때 이 연산을 적용하는 대상일 뿐입니다. 이를 적용하여도 좋다고 생각되면 적용하는 것이고 적용하여 문제가 있다면 적용하지 않을 뿐이지 이 이론이 주어진 현실에 적용되지 않는다고 이론을 받아들일지 말지 할 것은 없습니다.
이는 마치 삼각형의 이론이 원에 적용되지 않는다고 삼각형의 이론을 받아들이지 않는다는 것과 비슷합니다.
우선 확률뿐이 아니라 어느 수학이론도 가정으로 채워져 있기는 마찬가지이지요. 보통 미적분학은 실수에 대한 많은 가정 위에 서 있고요. 미분방정식도 대수학도 모두 다 그렇습니다. (예를 들어 1+1=2를 실생활에서 사과를 하나씩 두번 먹으면 두개 먹는것이다 라고 활용한다고 할 때, 이 수식은 수학의 이론이고 현실의 사과 문제는 이 이론을 적용한 것이지요. 이 때 주어진 두 사과가 똑같지 않고 한 쪽이 좀 무거우면 두 사과를 다 1이라고 해도 되는 것인가 라고 하는 문제가 생깁니다.)
이 문제에 대한 수학의 견해는 1+1=2라는 식은 추상적인 개념으로서 수의 연산에 대한 성질이라고 이해하는 것이고 현실의 사과는 이러한 연산법칙을 적용할 수 있는 대상이라고 받아들일 수 있을 때 이 연산을 적용하는 대상일 뿐입니다. 이를 적용하여도 좋다고 생각되면 적용하는 것이고 적용하여 문제가 있다면 적용하지 않을 뿐이지 이 이론이 주어진 현실에 적용되지 않는다고 이론을 받아들일지 말지 할 것은 없습니다.
이는 마치 삼각형의 이론이 원에 적용되지 않는다고 삼각형의 이론을 받아들이지 않는다는 것과 비슷합니다.
Q: 확률이라는 가능성을 수치로 나타낸것이 수학의 세계에서 본질?을 잃지 않을지 고민입니다. 확률에 담긴 심오한 뜻 그게 수학의 확률이론에서는 전혀 반영되지 않는다고 봅니다. 죄다 가정에다가 더군다가 가정이 확률의 주춧돌의 하는 역할을 하는데.
A: 수학 이론에 반영되지 않는 심오한 뜻이 무엇인지 궁금하군요.
Q: 수학의 세계에서 이상적인 주사위를 던진떄 각각의 눈이 나올 확률은 1/6 이다. 양자역학에서 확률은 아주 유용하게 쓰이고 있는데 현실의 여러가지 물체에 영향을 주어서 특정 결과의 기대값을 구하는 작업을 그 물체와 생김새가 비슷한 수학적 대상으로 생각해서 수학의 세계에서의 확률을 현실세계에 그대로 쓰는경우.
그러니까 주사위를 위로 던지는 일을 하면 주사위는 반드시 아래로 떨어지고 1~6중 하나의 눈이 나올텐데 그걸 어떻게 구하냐면
주사위와 비슷한? 정육면체로 생각해 수학의 세계에서 정육면체를 던져서 여러가지 붙여놨으니 쉽게 확률을 구할테고 그 값을 실제 주사위를 던진 값으로 생각할것 같은데요
A: 확률이론이 이야기하는 것은 주사위를 던질 때 한 눈이 나올 확률이 1/6이라면 두 개를 던질 때 합이 5가 될 확률은 얼마얼마이고 또 연거퍼 던질 때 두 눈이 같은 확률은 얼마이고 등등이 성립할 수 밖에 없다는 인과율 뿐이지요.
현실이 이러한 문제에서 가정하는 여러 사실들과 어긋난다고 이 이론이 틀린 것은 아니고, 이 이론은 이러한 가정들이 성립할 때만 적용하면 되니까 문제 될 것도 없지요. (여기서 가정하는 것들은 주사위의 눈이 나올 확률은 시간이 지나도 변하지 않는다. 연거퍼 던질 때 앞의 결과와 뒤의 결과에 인과관계가 없다 는 등등입니다. 이것이 가정되지 않으면 어떠한 이론도 이야기할 수 없겠지요?)
이제 주사위를 던질 때 1-5까지의 눈이 나올 확률이 1/5이고 6은 절대로 나오지 않는다면(즉 그런 주사위가 있다면) 확률은 이 경우에 대하여도 두개의 주사위를 던질 때 두 눈의 합이 5일 확률을 계산할 수 있게 해 주고... 등등 모두 가능하게 해 줍니다.
위에 말씀하신 문제는 확률이론과는 별개의 문제로 에너지님이 생각하시는 주사위가 왜 앞의 주사위와 같은가 하는 것인데 이것은 확률이론이 어떻게 할 수 있는 것이 아니겠지요. 주사위 만드는 사람의 문제겠지요.
현실이 이러한 문제에서 가정하는 여러 사실들과 어긋난다고 이 이론이 틀린 것은 아니고, 이 이론은 이러한 가정들이 성립할 때만 적용하면 되니까 문제 될 것도 없지요. (여기서 가정하는 것들은 주사위의 눈이 나올 확률은 시간이 지나도 변하지 않는다. 연거퍼 던질 때 앞의 결과와 뒤의 결과에 인과관계가 없다 는 등등입니다. 이것이 가정되지 않으면 어떠한 이론도 이야기할 수 없겠지요?)
이제 주사위를 던질 때 1-5까지의 눈이 나올 확률이 1/5이고 6은 절대로 나오지 않는다면(즉 그런 주사위가 있다면) 확률은 이 경우에 대하여도 두개의 주사위를 던질 때 두 눈의 합이 5일 확률을 계산할 수 있게 해 주고... 등등 모두 가능하게 해 줍니다.
위에 말씀하신 문제는 확률이론과는 별개의 문제로 에너지님이 생각하시는 주사위가 왜 앞의 주사위와 같은가 하는 것인데 이것은 확률이론이 어떻게 할 수 있는 것이 아니겠지요. 주사위 만드는 사람의 문제겠지요.
Q: 이렇게 못 믿음직한 확률이라면 물리학의 여러이론에 써먹는건 아주 위험한것 같은데. 물리학자들은 확률부터 제대로 정립해야 하는건 아닐까요
A: 따라서 확률 이론은 믿음직한데 이를 적용하는 사람들이 제대로 적용해야 하는 문제가 되지요. 확률이론은 이미 매우 정교하게 정립되어 있습니다.
Q: 주사위를 던지는걸 왜 정육면체를 던지는 걸로 생각해야합니까 정육면체를 던져야 그나마 비슷하게 통계수치가 나온다는 법이라도 있습니까
A: 주사위를 정육면체로 생각해야 한다는 법은 없습니다. 오히려 주사위를 만드는 사람들이 정육면체로 만들어야 모든 면이 나올 확률이 같으리라고 생각하고(확률이론을 이용하여) 만든 것일 뿐이지요. 정육면체면 나오는 면이 모두 같은 확률을 가질까요? 그렇지 않습니다. 한쪽을 무겁게 하면 그 반대쪽 면이 나올 확률이 높아지겠지요. 속에 자성을 띄게 하면 주변 자장의 영향을 받을 것입니다. 모서리를 너무 뾰족하게 하면 혹시 모서리가 바닥에 박혀서 모서리로 서게 될 지도 모르지요. 이런 모든 주사위를 가지고 게임을 할 때 나올 여러가지 확률을 알고 싶다면 ...?
확률이론은 이럴 때 각 면이 나올 확률만 알면 나머지 모든 것을 계산할 수 있다는 것을 말하고 있을 뿐이지 각 면이 나올 확률이 얼마인지는 이야기하지 않습니다.
확률이론은 이럴 때 각 면이 나올 확률만 알면 나머지 모든 것을 계산할 수 있다는 것을 말하고 있을 뿐이지 각 면이 나올 확률이 얼마인지는 이야기하지 않습니다.
Q: 그러니까 어떤 현실세계의 물체를 던져서 특정결과를 기대하는 값을 구할 때, 그 물체와 비슷하게 생긴 이상적인 수학적 도형을 생각해( 동전은 원 주사위는 정육면체) 그 것을 던지는 것으로 생각하는게 왜그런가 입니다 또 그게 정당한가도 의문이구요
A: 이상적인 수학적 도형을 던지는 것은 단지 말을 편하게 하기 위한 것일 뿐이고요 이상적인 수학적 도형을 던진다고 확률을 알 수 있는 것은 아닙니다. 정육면체를 던지면 각 면이 나올 확률이 1/6입니까? 알 수 없습니다. 위에서와 같이 무게분포가 어떤 정육면체인가 주변상황이 어떤가도 문제이고 모든 상황이 똑같아도 그럴 확률이 1/6인지 알 방법은 없지요.
수학문제에서 하는 이야기는 "만일 던지는 주사위(또는 정육면체)가 각면이 나올 확률이 모두 같다면" 이라고 가정할 때 다른 확률들을 구하라는 것이랍니다.
수학문제에서 하는 이야기는 "만일 던지는 주사위(또는 정육면체)가 각면이 나올 확률이 모두 같다면" 이라고 가정할 때 다른 확률들을 구하라는 것이랍니다.
A: 물론 의문입니다. 이것은 물리학의 근본적인 문제이지요. 그런데 만일 그렇지 않다면 즉 상황이 아주 조금만 변해도 결과가 많이 달라진다면 우리가 믿고 이야기할 것이 하나도 없어진답니다. 즉 에너지님의 몸에 산소분자가 하나 더 붙으면 다른 사람으로 변한다면 매우 불안정하겠지요. 이사람이 됐다가 저사람이 됐다가... 따라서 어떤 이론을 적용할 수 있으려면 그 대상이 안정하다는 것을 알아야 합니다.(물론 이것도 가정으로 밖에는 이야기할 수 없지요.) 수학에서는 이러한 안정성을 연속성이라고 부릅니다. 즉 상황이 조금만 변하면 그 결과도 조금씩만 따라 변한다는 것이지요. 이러한 것이 깨지는 상황을 파국 또는 혼돈이라고 부르고요... 위에서 말씀하신 것에 대하여는, 물리에서는 확률이 그 대상의 함수로 보아 연속적이라고 가정하고 있습니다. 확률뿐 아니라 모든 좋은 대상들은 연속적으로 변화한다고 가정합니다.
Q: 그러니까 주사위던지는 거랑 그 주사위에다가 금원자 하나 붙여놓고 던지는 거랑 왜 별차이 없냐 이말이죠.그걸 또 물리적으로 바랑의 영향을 별로 막지 못하니 하신다해도
아직은 말할수 없지만 그래도 답답한 무언가가 있습니다.
계속 언급했지만
현실의 주사위가 이상적 주사위를 닮으면 닮을수록 이상적 주사위처럼 던졌을때 각각의 눈이 나올확률이 같아진다
설마 이것까지 가정한다면 할말이 없습니다.왜그렇죠.
A: 이것은 수학은 가정하지 않습니다. 그러나 물리는 가정할 것 같군요. 그 이유는 그것이 물리학이기 때문입니다. 물리학은 현실에서 수학적 모형을 뽑아 수학적 모형의 이론으로 현실을 설명하는 학문이기 때문입니다. 반면에 수학은 현실의 문제에 (이러한 의미에서) 어떻게 적용하는가는 관심이 별로 없습니다. 오히려 현실에 적용할 방법이 있어보일 때 사용할 수 있는 이론을 개발하는 것이 목표이지요. 즉 현실에 적용하는 방법을 찾는 것은 물리학이고, 적용할 이론을 찾는 것이 수학이지요.
글을 쓰면서 생각나는대로 써서 쓰고 나서 글을 제대로 읽을 수 있을지 걱정입니다 이해해 주시구요. 건방진 말투 너그러이 용서해주세요... 마지막으로 확률서적 추천해주시면 더 바랄게 없습니다.
그로몹
운영자의 개인적 생각을 모아 두는 곳입니다.