아래 김종욱님이 설명하신 글에 조금만 덛붙입니다. 산술평균을 조금 들여다보면 이런 생각을 한 것 같다고 할 것입니다: 즉, 두 수 x, y를 더해서 x+y 를 구했는데 이것이 두 수 x, y를 사용한 것이 아니라 어떤 한 수 z를 두 번 사용한 것이라면 (다시 말하면 z+z 였다면) 이 z는 어떤 수일까 하는 질문의 답이 산술평균입니다. (이와는 전혀 다른 방법으로 설명하는 수도 있을지 모릅니다.)
1. 이제 덛셈이 아니라 곱셈에 대하여 같은 방법으로 생각하여 보면 기하평균이 나온다는 것을 알겁니다. 혹시 세 수에 대한 덛셈은 x+y+z=u+u+u인 u를 생각하면 세 수의 평균이 나오지요... 세 수에 대한 곱셈을 생각하면 xyz=u^3 에서 u=(xyz)^(1/3) 입니다.
2. 이제 기하평균을 다른 각도에서 봅시다. (ln = log 입니다)
양수 x, y가 주어지면 여기서 ln x, ln y를 계산해서 이것의 산술평균을 구한다고 보고 위와 같이 생각해보면 (ln x + ln y)/2 가 됩니다. 이것이 ln을 취하기 전의 어떤 수 z의 ln 값인가를 물어보면, 즉,
(ln x + ln y)/2 = ln z
를 풀어 z를 구해보면 x, y의 기하평균이 나옵니다.
그러면 x, y의 ln값 대신에 역수 1/x, 1/y를 취하여 보고 이와 같이 생각해 보면
(1/x + 1/y)/2 = 1/z
인 z를 구한 것이 조화평균이 되지요.
마지막으로 이러한 생각은 주어진 수를 변형하고 평균을 구한다음에 이 수를 역으로 변형한 것이라고 생각하면 됩니다. 변형하는 방법은 많으니까 (역 방향으로 변형할 수만 있으면 되니까... 즉, 변형이 1대1 대응이면 되니까) 여러 가지 평균을 생각해 볼 수 있을겁니다.
적분을 사용한 평균
( int_a^b f(x) dx )/ (b-a)
도 이러한 관점에서 이해할 수 있을지 생각해 보세요.
그로몹
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