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3차원 공간의 곡면을 공부하여 보면 많은 아름다운 성질들이 보인다. 이 성질들 가운데 또 많은 부분은 바로 눈에 드러나 보이는 것이라서 문외한이라도 쉽게 이해할 수 있는 것들이다.

(곡면이) 아름답다는 것은 규칙과 관련된 문제이다. 우리가 눈으로 보고 감지해낼 수 있는 규칙들은, 꼭 그 규칙을 말로 바꿀 수 있는 것이 아니어도, 그 규칙을 가지는 대상을 분류해 내고 공통성을 느낄 수 있으며 아름답다는 말로 대신하는 것 같다. 곡면 가운데 아름다움을 주는 규칙 가운데 하나는 그 곡면의 넓이와 상관이 있다. 곡면을 가만히 놓고 그 곡면의 일부분을 조금 바꾸어 보았을 때 넓이가 더이상 줄어들 수 없는 곡면을 극소곡면(minimal surface)라고 부른다. 극소곡면의 이론은 18세기에 미분기하학이 시작되면서 같이 발전한 이론이다.

이러한 곡면 가운데 (평면을 제외하고) 가장 단순한 곡면이라면 현수면이라고 불리는 것이다. 극소곡면중에서 가장 먼저 발견된 것이고 그 모양이 곡선을 회전시켜서 만든 회전면이라는 특징을 가지고 있다. 이 곡면의 모선(母線,generator)을 이루는 곡선은 현수선이라고 하여, 줄넘기 줄처럼 밧줄의 양쪽 끝을 두 사람이 잡고 늘어뜨리면 그 밧줄이 이루는 모양의 곡선이다. 이 곡면의 모양은 다음과 같다.

극소곡면은 철사줄에 매달린 비누막으로 잘 나타난다. 비누막은 표면장력때문에 극소곡면의 형태를 띄게 된다. 실제로 실험해서 보여주는 다음과 같은 사진이 있다.


이 사진의 두 파란 링을 조금 더 벌리면 비누막은 가운데가 조금 더 가늘어지면서 위의 그림과 비슷한 모양이 된다.