준용이가 고등학생 문제 풀어주다가 \( 2 \times 2 \) 행렬의 \( n \) 승 멱이 가지는 성질을 발견했다고 해서 증명을 어찌하는가 생각해 보았는데... 아마 이미 많은 사람이 알고 있겠지만...
TeX을 사용해서 이 블로그에 쓸 수 있으니까 오랜만에 한 번 써보자. 근데 AMSTeX 명령도 듣나?
문제는 \( A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) 라고 하면 \( A^n \) 의 두 entry에 대해서 \( a_{12}:a_{21}= b:c \) 라는 것이다.
\[ A^{n-1}=\begin{pmatrix} e & \alpha b \\ \alpha c & f \end{pmatrix} \]
라고 하자. 그러니까 수학적 귀납법을 써서 \( A^{n-1} \) 에 대하여도 성립한다고 하자. 그러면
\[ A^n=A A^{n-1}=A^{n-1}A \]
이다. 그러니까 위의 표현을 이 두 가지로 계산하면 같아야 한다.
이 표현에서 해당하는 (1,2) 원소와 (2,1) 원소는 각각 \( b(\alpha a + f) = b (e + \alpha d) \) 와 \( c(e + \alpha d) = c(\alpha a + f) \) 이다. 여기서 \( \alpha a + f = c + \alpha d \) 가 항상 성립한다는 것을 알 수 있고 \( A^n \) 에 대하여도 가설이 성립한다. \(n=1\) 일 때는 확인하지 않아도 되겠지?
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