Hitel에 썼던 글입니다.
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함수라는 개념은 간단히 영역의 원소들에게 치역의 원소들을 대응시켜 주는 관계(규칙)이다. 이 관계는 어떤 때는 한마디 말로도 표현될수 있으며, 또 다른때는 일일이 대응관계를 나타내 주기 전에는 다른 방법을 찾기 어려울 때도 있다. 일반적으로 이 관계를 다음으로 나타낸다.

y = f(x)

이때 f(x) 는 3x+2 처럼 한마디로 써지기도 하지만 어떤때는 위에 이야기 한것처럼 몇마디로는 쓸수 없다.

그런데, 이런 함수관계는 어떤때는 수식(방정식)이라는 조건으로 정의되기도 한다. 즉

3x + 2y = 5 ------------ (1)

같은 식은 독립변수 x, y 로 이루어진 3x + 2y = f(x,y) 라는 이변수함수가 있을 때 특별히 이 함수값이 5 가 된다면 x 와 y 사이에 어떤 관계가 있나에 대한 대답으로써 함수

y = (1/2)(5 - 3x) ----------- (2)

를 정의한 것이 된다. 자 이때 정의된 함수는 마찬가지지만 (2) 처럼 (explicit 하게) 쓰면 양함수(explicit function)이라고 하고, (1) 처럼 함수를 정의하는줄은 알지만 explicit 하게 표현하는 수고를 하지 않으면 음함수(implicit function) 이라고 한다.

자 그럼 똑같은 함수인데 왜 굳이 음양을 나누는가? 여기서 식으로 주어진 관계

x^2 + y^2 - 4 = 0 ------------ (3)

을 보자. 이 때는 이미 잘 알다시피 함수가 단 하나 정의되지 않는다. (이유는 매 x 에 대해 위 관계를 만족하는 y가 어떤 때는 두개, 어떤 때는 하나가 있고, 어떤 때는 하나도 없기 때문이다. 하나도 없는 x 는 함수의 정의역에서 빼버리면 되지만 두개 이상 있으면 어느것을 선택하느냐 하는 문제에서 여러가지 함수가 나오기 때문이다.)
이 때, 어떤 함수가 (3) 에서 정의된 음함수라고 말하는 것은 이렇게 매 x 마다 (3) 을 만족하는 y 를 하나씩 뽑아서 만든 함수들 가운데 하나임을 말한다.
(참고로 그런 함수는 매우 많다. [-2, 2] 를 정의역으로 할 때,이 집합을 두부분으로 나누어 한부분에서는 매 x 마다 관계 (3) 을 만족하는 y 가운데서 양수를 잡고 다른 부분에서는 이런 y 가운데서 음수를 잡으면 여러가지라는 것을 알수 있다. 이중에서 연속함수가 되는것은 보통 문제풀때 쓰는 두가지 뿐이다.)

이것이 더 유용한 경우는

cos (xy) + log (x+y) = 5 ----------- (4)

와 같이 (나 같은 사람은) y 를 x 에 대하여 풀어낼수 없는 경우에는 위에서 같이 정의된 함수는 그냥 (4) 에 의하여 음함수로 정의된 함수라고 부르는수 밖에 더 있겠는가? (그러니 음함수나 양함수라고 부르는 것은 다른 종류인 두가지 함수가 아니요, 똑같은 함수되 나타내는 방법이 다름을 보이는 말이다.)

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