텐서란 앞에서 말했던 것 처럼 이미 가지고 있는 개념을 수치적으로 표현할 때 꼭 겪는 복잡함을 이해하고 이에 대하여 말하는 방법입니다. 수학에서는 단계적으로 다음과 같이 풀어져 있습니다.
그 이야기 전에 우선 다변수 미적분학(적어도 2변수)과 선형대수(적어도 행렬과 행렬식)의 이야기를 들어보았어야 합니다.(사실 들어보는 정도로는 안됩니다.) 리만기하학을 배우려는 분이면 당연히 아시겠지요.(적어도 안다고 생각하시겠지요.)

우선 대수적인 텐서는 벡터공간 V 하나안에서의 이야기입니다. 이 때 텐서는 V 위에서의 벡터들의 곱의 일종을 말합니다. 이 곱은 보통 알고 있는 곱들을 포함하는, 더 일반화된 개념으로서 우리가 보통 곱셈이 갖고있다고 생각하는 최소한의 조건만을 가지는, 가장 일반화된 곱셈입니다. (이에 대한 정의는 대수학등의 책을 보시기 바랍니다.) 따라서 우리가 생각하는 모든 곱셈들은 이 곱셈의 하나가 됩니다. 우리가 이미 잘 쓰고 있는 예를 하나만 들죠.(잘 아는 것은 사실 이것 하나 밖에 없습니다.)

V = R^2 에 좌표 x, y를 주고 보면 V^*(dual space)는 x, y로 생성되지요. 이 때, V 위에서 정의된 다항식들은 x와 y의 곱들로 나타내어집니다. 이 들은 다음과 같이 나누어 생각할 수 있습니다.

x, y의 0차식, x, y의 1차식, x, y의 2차식, ......

이 각각은 x 와 y를 각각 0번, 1번, 2번, ... 씩 곱해서 얻어지는 것들의 일차결합을 모두 모은 것입니다.

이들이 V^*의 모든 텐서곱을 다 나타내지는 못합니다. 다항식들은 특별한 조건

xy = yx, x y^2 = yxy = y^2 x, ...

을 만족하고 있으므로 가장 일반적인 곱셈이라고 할 수는 없습니다. 다항식은 소위 대칭인 곱셈(symmetric tensor product)을 모두 만드는 것 같군요.(사실인지 한번 생각해봐야겠군요^^)

일반적인 곱셈을 @ 로 나타내기로 하면,

x @ y \not= y @ x

일 뿐만 아니라 양변이 서로 아무 관계도 없어야 합니다. 즉

x @ y = - y @ x

같은 조건도 없다는 것이지요. 이러한 일반적인 곱셈을 통해서 곱하고 일차 결합을 만들고 하는데, 단 하나, 텐서 곱셈이 되려면 다음 성질 둘(셋?)은 만족해야 하지요 (결국 대수학 책을 쓰는군^^)

(x + y) @ z = x @ z + y @ z,
x @ (y + z) = x @ y + x @ z,
x @ (ty) = t (x @ y) = (tx) @ y (t는 스칼라 체의 원소)

그러한 곱셈을 만들어 쓰는데 익숙해지면, 해석(기하)학으로 들어가게 되는데요, 앞의 글 `텐서(1)'에서 이야기한 것입니다. 즉

(1) 한 점 p에서의 방향벡터 전부를 V_p라 할 때 V_p의 텐서곱들을 p를 변화시키면서 함수로 보는 것,

(2) 이 것들이 p에 대하여 연속함수, 미분가능한 함수라는 개념들을 정의하고,

(3) 이 개념들이 서로 smooth한 관계인 두 좌표(예를 들면, 원점 밖에서 직교좌표와 극좌표)에서 볼 때 마찬가지 개념이라는 것: 직교좌표로 써서 미분가능한 텐서는 극좌표로 써도 미분가능하고, vice versa.

(4) 이러한 두 좌표계 사이에서 같은 텐서를 표현하는 방법은 항상 두 좌표계를 변환하는 변환식의 Jacobian matrix로 변환된다는 것.

등을 확인하고 스스로 항상 계산해낼 수 있게 되면 1차적으로 텐서 개념에대한 대부분의 이해가 되었다고 할 수 있죠.

이 것을 써서 리만기하학을 하게 되면, 기하학에서 어떤 텐서가 중요한 것인가 하는 문제의 답을 구하고, 이들 사이에 어떤 관계가 있으며 - 어떤 것을 미분하여 어떤 것을 얻고, 어떤 것을 적분하여 어떤 것을 얻는가, 어떤 놈을 어떤 놈과 내적하면 어떤 놈이 얻어지는가 등등... 소위 텐서들의 공식 - 이 각 텐서들의 기하학적 의미는 무엇인가 하는 문제에 답을 찾는 것이 리만기하학을 공부하는 목표라고 할 수 있습니다. 기하학에서는 대부분의 중요한 텐서적 개념을 곡률이라고 부르려는 경향이 있습니다.(물리학도 마찬가지인데, 텐서 가운데 질량, 스트레스 텐서, 운동량, 등등 모든 개념이 있습니다) 그 과정에서 Gauss-Bonnet의 정리와 같은 위상수학에 걸친 이야기를 할 수도 있지요. (즉 오일러지표라고 하는 숫자는 어떠한 텐서의 적분으로 나타낼 수 있다는 등등...)

지금 드린 이야기는 단지 뜬구름 잡는 이야기일 뿐이지만 이를 가이드 삼아서 초보 텐서론부터 차근차근 공부하시면 쉽게 이해할 수 있을 것입니다.(믿거나 말거나?) 하지만 혼자서 끙끙대기보다는 잘하는 분들께 물어보기 바랍니다. 누구나 열심히 가르쳐 주겠지만, 그리고 모든 설명이 다 정말 도움이 되지만, 진짜 잘하는 분들의 설명이 필수적입니다.

책을 한 두개 소개하면,

M. Spivak의 Calculus on Manifolds : 이 책을 통해서 텐서를 이해하면 쉬울 것입니다. 하지만 문제를 거의 다 풀어봐야만 합니다.

Sokolnikoff의 Tensor Analysis(제목도 가물가물) : 혹시 위의 현대적 표기법이 마음에 안든다면 이러한 고전적 표기법과 물리학적 이야기도 괜찮을 겁니다. 위의 책보다 훨 길어요. 고전적 물리학 책(20세기 초반의 어려운 물리학책들: 예를 들어 Eddington의 Relativity Theory(?) 같은 책) 모두 다 텐서를 열심히 설명하고 있어요.

김강태의 미분기하학 : 기하학란과 책 소개란에 소개했지만, 미분기하학(리만기하학)의 입문서로 아주 좋은 책입니다. 단지 이 책만 읽고 리만기하학 다 안다고 하면 (라마뉴잔 같이 쬐끔만 보고도 모든 것을 다 꿰뚫을 사람이 없지는 않겠지만) 아마 안되겠지요. (저자가 그러면 안된다고 했으므로)

P. Petersen, Riemannian Geometry : 최근에 나온 기하학 책인데 쉽게 어려운 이야기 까지 잘 설명한 또하나의 책입니다. 방대한 이야기를 다 한 책. 분량은 400쪽 남짓.

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