인터넷이 발달하여 전 세계 사람들의 생각이 모두 나에게 오고 또 전 세계로 퍼져 나간다. MIT 대학의 강좌 공개 프로그램인 OCW 사이트에는 이 대학의 많은 강의들이 어떻게 진행되고 있는지를 알 수 있는 자료들이 올라와 있다. 수학에서 대표적인 것은 Gilbert Strang 교수가 수년 전에 했던 선형대수 강의로 30시간 정도의 강의 전체의 동영상이 올라와 있다. 요즈음은 유튜브에도 동시에 공개되는데 거기는 영어 자막까지 들어가 있어서 도움이 많이 된다. 이 강의는 매우 짜임새 있는 강의로 선형대수를 수강할 때 같이 병행하여 들으면 좋을 것이다.
이 사이트를 돌아보던 중 최근에 T. Colding 교수가 학부생을 상대로 한 편미분방정식 강의록을 보았다. 기하학자가 편미분방정식을 강의하는 것은 가끔씩 있는 것이지만 원래 편미분방정식이란 분야가 넓다 보니 공부하기가 어렵고, 따라서 학부의 강의는 고전적인 계산기법에 치우치는 경향이 있다. 내가 공부하던 시절 UCLA에서 S. Y. Cheng 교수가 강의하던 편미분방정식도 그의 스타일 답게 계산에 많이 치우쳐 있었고 나는 그런 강의에서 매력을 못느꼈다고 할까 (결국 따라가지 못했다고 할까) 제대로 공부하지 않았었다.
그런데 Colding 교수의 강의는 이런 것을 조금 뛰어 넘고 대학원의 수업 내용에 해당하는 내용으로 직접 들어가고 있다. 강의록 뿐이고 동영상이 없어서 아쉽기는 하지만 강의록으로도 무엇을 했는지 어렵쟎게 알아볼 수 있는 강의가 편미분방정식이므로... 사실 복잡하고 정신없는 여러 가지 방법론에 계산까지 제대로 정리하기도 쉽지 않은 것인데 학부 학생들이 알 수 있는 수준으로 이런 이야기를 보여주려고 한다. 내용은 유클리드 공간의 Laplacian에 대한 계산 반의 반학기, 그리고 뒤에 가면 divergence form의 strongly elliptic 미방으로 앞의 계산을 일반화해나간다. 중간에 열방정식을 잠시 다루고...
더 일반적인 경우 특히 비선형인 경우를 결국 알고 싶지만 직접 이런 이론으로 들어가면 복잡한 방법론 속에서 길을 잃기 쉬운데 이렇게 한 번 모든 이론을 쉬운 경우에 한 번 훑어보고 난다면 이런 어려움이 한결 덜할지도 모른다. 응용을 위하여는 구체적인 계산을 공부해야 하는 것은 맞지만 이것은 이미 100년이 넘은 이론이고 지난 100년은 편미방의 해의 존재와 미분가능성의 이론을 만드는데 전념했던 만큼 이제는 학부에서도 왜 지난 100년이 이처럼 힘들고 더디었는가를 알아볼 필요가 있는지도 모른다. 일반적인 미분방정식 계산법은 어쩌면 상미분방정식과 함께 다른 과목을 알아볼 때가 되었는가?
그러나 우리에게는 MIT의 강의가 아직 어렵다. 대학원 1학년 정도에서 공부하기 좋다고 생각되기도 한다. 물론 원론적으로는 학부 4학년이면 들을 수 있어야 하지만 해석학, 선형대수를 매스터하지 못하고 헤매는 친구들에게는 조금 무리라는 생각이 든다. 이번 방학 동안에 한 번 세미나 하듯이 훑어 보려고 하고 있다. 이런 강의록은 어떻게든 우리말로 바꾸어 놓아야 할 것 같다.
그로몹
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