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 (이 글은 1999년도 수학사랑 마지막 호에 실렸던 것입니다. 수학사랑에는 이 글을 조금 줄여 편집된 내용으로 실렸습니다.)

19991015

수학을 공부하는 사람들은 수학을 좋아한다. 수학을 이해하는 사람들에게 수학은 무한한 매력을 가지고 있다. 이러한 수학을 공부할 수 있다는 것은 대단한 행복이다. 그런데 우리 나라에서 수학을 공부하는 사람들은 그리 행복한 것 같지 않다. 열악한 환경에서 힘든 공부를 마치고 보면, 자신이 공부한 것을 쓸 곳을 찾기 힘들고, 운이 좋은 경우에도 주위의 무지와 잘못된 정책과 엎치락뒤치락하다 보면, 내가 무엇을 잘못하고 있는 것인가 라고 생각할 때가 자주 있다. 선진국의 훌륭한 예를 많이 보면서, 또 우리와 비슷한 사고방식을 가지고 있거나 우리와 비슷한 상황에 있는 나라들도 잘 해나가는 것을 보면서 우리만 잘 못하고 있는 것이 아니냐고 묻지 않을 수 없다. 우리들은 이런 생각을 할 때마다 전쟁후 살기 힘들던 때를 생각하며 나아지고 있는 중이라고 믿고싶어했는지도 모른다. 그러나 새 천년을 눈앞에 둔 지금은 우리가 태어난 5, 60년대와는 다르다. 또 우리가 공부하던 7, 80년대와도 다르다. 지금은 잘못을 고치고 새롭게 준비하지 않으면 안될 때이다.

수학을 공부하는 사람들은 우리가 당면한 문제를 모두 다 알고 있다. 초·중·고등학교에서 경험하는 왜곡된 교육현실과 근시안적인 대학교육 정책, 늘어나는 기초과학 경시풍조는 모두 수학을, 과학을 제대로 이해하지 못하는데서 기인한다고 할 수 있다. 이 글에서 우리는 이러한 문제에 대하여 별다른 뾰족한 수를 대지는 못한다. 그러나 적어도 문제를 바로 바라보고 우리가 할 수 있는 일이 무엇인가는 생각해보려고 한다.

==== 수학은 어떤 학문인가 ====

수학은 무엇인가라고 묻는다면 쉽게 대답하기 어렵다. 어떤 유명한 수학자가 최근에 "진정 수학은 무엇인가?" 라는 책을 썼다. 책 한 권이 필요하다면 분명히 어려운 물음이다. 우리는 이 물음을 음미해 보면서 수학이 보여주는 여러 양상을 보려고 한다. 수학을 가르치면서 보면 공부하는 학생들 대부분은 공식을 배우고 기억하려고 할 뿐, 그 유도 과정이나 이론 자체에는 관심이 없다. 처음에는 이런 것을 보고 열심히 이론을 설명해주기도 한다. 그러나 차츰 수학을 왜 배우는가, 수학은 무엇하자는 것인가를 묻게되면, 생각나는 것은 우리도 처음 수학을 배울 때는 공식을 익히고 사용하는 것부터 배웠다는 것이다. 물론 이론도 배우기는 했지만 처음에는 이론의 쓸모는 잘 몰랐다. 그 중요성을 느끼게 된 것은 꽤 나중의 일인 것 같이 생각된다.

공식 때문에 수학을 다시 바라보고 역설적으로 알아낸 것은 수학은 공식의 학문이라는 것이다. 단지 중·고등학교 수학에만 공식이 나오는 것이 아니다. 우리가 이론을 만든다는 것은 우리가 접하는 현상에서 공통적인 형식을 뽑아서 공식처럼 만드는 것이라고 해도 무방할 것 같다. 수학은 결국 현상의 틀을 공식화하여 기억하기 쉽고 적용하기 쉽게 하자는 것일 뿐이 아닌가? 그렇다면 공식을 외우겠다는 것이 크게 잘못된 것처럼 보이지 않는다. 그러나 고등학교에서 수학 이론을 배우고 공식을 익힐 때쯤 되면 그냥 무작정 외우는 것보다는 이론과 공식을 유기적으로 기억하는 것이 더 효율적으로 공부하는 방법이라는 것을 알게 된다. 더욱이, 유기적 관계를 이해하면 공부한 것을 훨씬 더 폭넓게 적용할 수 있게 된다. 이 수준이 되면 유기적 관계라는 공식이 탄생하는 것이다. 이 것을 보통은 외우지 않고 이해한다고 말한다.

==== 수학을 쓰는 단계 ====

수학을 공부하며 보면 수학에 단계가 많다는 것을 알게 된다. 처음에는 정말로 단순한 공식을 기억하고 쓴다. 그러나 단계가 올라가면 하나의 공식은 이전 단계의 여러 공식을 유기적으로 모아서 한꺼번에 서술한 것처럼 보인다. 이 것은 그 다음 단계에서도 또 마찬가지이다. 처음의 한 두 단계는 모든 사람들이 중·고등학교까지 공부하며 경험하여 알고 있지만, 그 이후에도 계속하여 이러한 단계가 있으며 대학에서의 수학 교육은 이에 맞추어 새로운 방법으로 진행되어야 한다는 것까지는 일반 사람들이 대부분 잘 모르고 있다.

한 사람을 교육할 때에는 교육의 목표를 정하여야 한다. 이 사람을 어떤 사람이 되도록 교육할 것인가? 초등학교나 중학교의 수학정도를 사용하는 일상적 업무를 다룰 사람인가? 고등학교나 대학 초반의 수학 정도까지를 쓸 수 있어야 하는 기능화된 단순수치작업으로 만족할 사람인가? 아니면 대학에서 공부하는 여러 가지 수학적 모형을 이해하고 다루며 스스로 모형을 바꾸고 창의적인 방법을 개발할 사람인가? 또는 수학을 전문적으로 연구하고 그 가운데에도 한 두 분야에 정통한 수학의 연구자를 만들 것인가에 따라서 우리가 수학을 공부하고 가르치는 방법과 자세가 달라져야 한다.

그런데 최근에 들어서 전문적인 수학자나, 다양한 모형을 다루는 능력을 가진 응용수학자 및 준 수학자들의 필요성이 급격히 증가하고 있다. 매스컴 등 여러 곳에서 들어 익히 알 수 있지만, 금융 분야나 정보 보안 분야와 같이 최근에 갑자기 중요하게 된 분야나 영상 분야나 정보 자료분야와 같이 꾸준히 연구되던 분야에서 근래에 필요로 하는 사람들은 대학에서 그 분야를 전공한 사람이 아니라, 그와 관련된 수학의 기법을 쓸 수 있고 또 개발할 수 있는 사람들이다. 이 가운데 어떤 분야들은 국가 안보와도 관련되어 있을 뿐 아니라, 기업의 경영이나 발전이 결정적으로 이러한 부분에 달려 있게 되어가고 있다. 이제는 우리 나라에서도 수학 전문가(technician)라는 새로운 직업이 생길 때가 된 것이다. 수학의 앞날은 밝으며 그 어느 때보다도 역동적이라고 하겠다.

==== 지금 우리는 어디에 있는가? ====

우리 수학의 상황을 살펴보자. 지금까지 우리는 근본적으로 선진국들로부터 과학과 기술을 배워오는 방법으로 경제성장을 이루어왔다. 그러나 지적인 경쟁시대에는 현장에 맞는 기술을 배우기도 힘들뿐만 아니라, 현장에서 필요한 기술이 최첨단 기초과학의 연구와 직결되는 일이 잦아짐에 따라, 수학과 같은 기초 학문의 연구가 관건으로 부각되고 있다. 그러면 우리 나라의 수학의 수준은 어느 정도라고 볼 수 있는가? 대략 90년대에 들어서면서 선진국에서 공부한 우수한 수학자들이 국내에서 자리를 잡음에 따라 수학의 일선은 미흡하나마 선진국 수준에 근접해가고 있는 것이 사실이다. 그러나 몇몇 사람이 잘 하고 있는 것은 선전효과는 있을지 몰라도 국가적 차원의 필요에는 부응할 수 없다.

==== 몇 가지 비교를 해 보자. ====

어떤 나라에서 학문의 성숙도를 알고싶다면, 이를 단적으로 보여주는 것이 학자의 수이다. 우리와 그런 대로 유사점이 많은 일본을 보자. 1970년도에 일본수학회의 회원은 2,922명으로 기록되어 있다. 본인이 기억하는 대한수학회 회원의 수는 1975년도에 200명 정도였다. 물론 당시의 경제적 여건의 차이를 감안하지 않을 수 없다. 그러나 1997년도 일본수학회 회원수는 정회원만 5천명이 넘는다. 대한수학회 회원은 겨우 천명 정도이다. 일본 인구가 우리의 두 세배가 된다는 점을 감안해도 비례적으로만 우리의 두 배는 된다. 수학회의 회원수가 갖는 의미는 그 사회에서 수학에 직접적 관심을 갖는 사람의 수이다. 따라서 우리 나라 사람들은 수학에 관심이 없다는 뜻이다. (물론 다른 기초과학에도 관심이 없다.) 이는 국민 개개인의 잘못은 아니다. 수학에 관심이 있고 없는 것은 일차적으로 국가 정책적인 차원의 문제라고 본다.

미국의 보편적 대규모 대학이라면 보통 주립대학들로 학부 학생수가 30,000명 가까이 되고 교수수는 2∼3천명 정도인 학교를 생각할 수 있다. 이러한 유수한 대학의 일년 총 예산은 1980년대 말에 10억 달러 수준을 넘어 있었다. 이 수치는 아마도 당시 고려대학교 1년 총 예산의 10배 정도에 해당할 것이다. 1988년 당시 일본 와세다대학교의 일년 예산은 4억 달러에 육박한다. 지난해 고려대학교 예산은 10년 전의 두 배가 조금 넘는 2,300억 원 정도에 불과하다. 물론 외국 대학의 예산도 그에 걸맞게 늘었을 것이다.

예산이 두 배라면 학교도 두 배정도 좋은가? 그렇게 간단하지 않다. 작년 고려대학교 예산에서 인건비만 따로 보아도 약 40%에 달한다. 총 예산이 10배인 미국 대학에서 교직원 일인당 인건비는 우리 나라에서보다 10배씩이나 될 이유가 없다. 따라서 그 부분은 상대적으로 교직원의 수에 비례할 것이다. 이러한 부분들을 제외하고 나서 실제로 설비나 도서, 기자재 등의 기본적시설(infrastructure)에 장기 투자되는 부분만을 비교하면 10배가 아니라 수십배의 차이가 난다. 이러한 차이가 수십년씩 쌓인 결과는 그 누구도 어찌할 수 없는 근본적 차이를 야기한다. 결국 선진국에서는 그 나라 어디서도 마음만 먹으면 바로 찾아볼 수 있는 자료가 우리 나라 안에서는 어디서도 찾을 수 없거나 혹시 있어도 전국에 한 두 군데뿐인 현실이 되고 마는 것이다.

선진 국가들이 학문의 발전을 이룩한 예도 생각해볼 필요가 있다. 유럽은 오랜 동안에 걸쳐 발전해온 것이므로 접어두고, 20세기에 들어서며 급격히 발전한 미국과 일본을 보자. 미국은 제 1, 2차 세계 대전을 지나며 유럽의 많은 과학자들은 유치하였다. 이에는 새로 발전하고 자유로운 나라라는 이미지도 한 몫을 하였겠지만 나라를 이끌어 가는 사람들의 진취적인 안목이 없이는 불가능했을 것이다. 이러한 면에서 일본은 더욱 뛰어난지도 모른다. 이미 한 세기 전에 일본은 당시 가장 발전된 나라인 독일에서도 가장 뛰어난 수학자들을 장기간 유치하여 스스로도 선진 수학 이론을 개발할 수 있는 단계에까지 발전시켰다. 이 수학자들은 단기간씩 방문한 것이 아니라, 몇 년씩 걸쳐서, 전적으로 일본에서, 학자를 양성하였다. 우리는 한 세기가 지난 지금도 하지 못하고 있는 일이다.

==== 문제의 심각성에 대하여 ====

이러한 문제를 해결하기 위한 여러 가지 방법에 대하여 논의하기 전에 우선 문제의 심각성을 조금 더 생각해 보자. 학교 재정과 재원 확보의 문제는 나중 이야기이고, 수학자의 수에 대하여 조금 더 생각하자.(편의상 수학회 회원의 수를 그 기준으로 이야기하자.) 앞에서 말했듯이 지난 25년간 우리 나라에서 약 800명 정도의 회원이 증가했다면, 지금은 수학과 졸업생의 수가 조금 증가하였으므로, 사회적 여건의 변화가 없다면 다음 20년 동안에 천 여명의 회원이 늘 것이라고 예상된다. 이 것은 최근에 수학과 같은 순수기초과학에 대한 인식이 나빠지고 있는 것은 감안하지 않고서 예상한 것이다. 이 경우 2020년 정도에 가서 겨우 인구 대비로 현재 일본 정도의 수준에 이르는 것이다. 그렇다면 일본을 따라간다는 것은 생각할 수도 없다. 이런 식이라면 10년도 가기 전에 확실한 낙오 국가가 되지 말란 법도 없어 보인다.

이에 반하여 세계 수학계는 연구면에서 최근 10년 동안에 괄목할만한 발전을 보이고 있다. 이 가운데 뚜렷한 특징을 몇 가지 볼 수 있는데, 우선 양적인 발전이다. 발표되는 논문의 수를 보면 근래의 1∼2년에 발표되는 수는 7∼80년대의 10년 동안 발표되던 논문의 수를 능가하는 것 같다. 가히 폭발적이다. 수학의 쓸모가 늘어나고 있다는 뜻이기도 하고, 수학자의 수가 늘고 있으며, 연구의 기법이 발전되었다는 뜻이기도 하다.

둘 째 특징은 수학의 여러 분야들이 통합되는 양상을 띄고 있다는 것이다. 예전에는 서로 분리되어 상호 교류 없이 연구되던 수학 분야들이 연구 방법론들을 서로 바꾸어 적용함으로써 빠른 발전을 이루는 단계에 접어들었다. 기하학과 위상수학이 서로를 연구하기 시작한지는 이미 오래 되었으며, 이제는 해석학과 기하학이 융합되고, 수학 여러 분야에 대수학과 확률론의 방법이 섞여들었으며, 위상수학과 해석학이 다시 합쳐지는 등, 이미 수학의 분야를 옛날처럼 분류하는 것이 시대착오적이라고 보일 정도가 되었다. 이 추세는 수학 안에서만 그런 것이 아니다. 벌써부터 이론 물리학분야에서는 물리학자와 수학자의 구별이 모호해지고 있다.

또 한가지 특징은 응용수학에 있다. 10여년 전만 하여도 응용수학이라고 하는 분야는 거의 수치해석학만을 지칭할 정도로 컴퓨터를 사용한 계산문제에 편중되어 있었다. 그러나 지금은 다르다. 수학의 전 분야가 응용수학이라고 할 정도로 범위가 넓어졌으며, 그 적용 대상도 물리학과 공학의 몇몇 분야였던 것이 지금은 이·공학 전반은 물론 인문 및 사회 과학의 방법론으로 다양화되고 있다. 이 말은 수학이 응용수학자를 통하여 타 분야에 응용되던 예전의 방식에서, 보통 수학자들에 의해 현장에서 직접 응용되는 방식으로 바뀌고 있음을 암시하고 있으며, 이는 다양한 수학 분야의 전문가들이 양산되어야 함을 뜻하고 있다.

이러한 점들을 종합하여 보면, 우리는 지금 세계와 견주어 우리 수학의 퇴보를 논하고 있지만, 사실 이것은 우리 산업의 경쟁력의 절대적인 퇴보를 의미하는 것이다. 산업체에서 기술을 개발하는 것만으로는 게임이 안되는 때인 것이다.

==== 무엇을 하여야 하는가? ====

앞에서 생각한 문제를 해결하기 위하여 우리는 수학의 교육과 연구에 어떤 효율적 투자를 하여야 하는가? 논의는 많다. 대학 재정을 확충하기 위하여도 그렇고, 초·중·고등학교의 여건을 위하여도 그렇다. 또 수학을 공부하는 것이 개인적인 성취를 위하여도 훌륭한 방법이 되도록 사회적 여건을 개선해 나가야 한다. 그러나 이 것은 이 일에 더 많은 사람들의 관심을 유도해야만 될 수 있는 일이며, 국가 정책적 차원에서 심각함을 인식하지 않으면 안되는 일일 것이다.

그렇지만, 이러한 문제를 해결하기 위하여 논의되는 여러 가지 방법에 대하여 그 어느 것이 옳고 그름을 따지기 전에, 또 획기적인 새로운 방법을 찾기 전에, 먼저 해야 할 일이 있다. 보통 수학인으로서 우리는 어떤 마음가짐에서 이 문제에 접근해 나가야 하는가 하는 것이다. 우리가 궁극적 목표로 삼는 것은 우리 사회에서 수학에 대한 인식의 변화이다. 이는 단순히 수학이 중요하다라는 것을 알리는 데에 그치지 않는다. 이미 앞에서 본 바와 같이 단순한 기능적 수학을 익힌 사람들의 수요는 줄어들 것이고 능동적으로 방법을 개발하며 수학을 쓰는 사람들의 수요가 폭발적으로 증가하리라는 것과 이런 수학이 도대체 어떤 것인가를 알릴 필요가 있는 것이다. 최근에 매스컴을 통한 노력들이 돋보인다. 그러나 이러한 노력은 어느 한 두 사람의 몫이 아니다. 우리 모두가 하여야하는 일인 것이다.

한편, 중·고등학교의 수업에서는 학생들이 문제를 잘 풀도록 가르친다. 그러나 문제를 잘 풀게 교육받아도 현실에서는 쓸모가 없다. 문제가 나쁘기 때문은 아니다. 될 수 있으면 생각하지 않도록 배우는 결과이다. 빠른 시간에 많은 문제를 실수 없이 푸는 것은 여러 가능성과 깊은 생각을 하지 않을 수 있을 때만 가능한 것이다. 새 시대에 필요한 것만 꼭 빼 놓고 가르치는 것이 아닌가? 대학에 들어가려면 어쩔 수 없다고 한다면, 물론 고등학교 교육이 대학 입학 시험을 무시하고 이루어질 수는 없는 것이다. 그래도 소를 위해 대를 잃는 것이 아니겠는가? 입학시험과 관련하여 이 문제는 깊이있게 그리고 다양하게 연구할 문제이다.

이와 비슷한 현상은 대학에도 있다. 산업체에서 대학 졸업생을 뽑으며 원하는 것은 현장의 문제, 눈앞의 문제에 익숙한 사람이다. 그러나 변화하는 사회에서 수 십년간 일해 나갈 사람은 눈앞의 도구만 익힌 사람이어서는 안된다. 변화에 적응할 수 있는 생각과 능력이 있는 사람이어야만 한다. 우리는 이런 사람을 키워야 하고, 이런 사람을 만들기 위해 필요한 것이 무엇인가를 끊임없이 생각해야 한다.

앞에서 언급한 현대 수학의 발전된 연구 방법의 하나는 수학자들이 토론을 통하여 생각을 교환하고 창의적 문제 해결능력을 키우는 것이다. 팀을 이루어 개개인의 사고력의 한계를 뛰어넘는 방법이다. 이러한 방법에 익숙하도록 만들려는 교육은 어려서 시작할수록 좋다. 특히 창의적 사고력은 다양한 경험에서부터 나온다고 본다. 이를 위하여 학생들에게 필요한 것의 하나는, 보통은 쓸데없는 생각이라고 부르는 다양한 사고 경험이라고 생각된다. 즉 현실 문제와 관련하여 수학적 공상을 할 수 있는 기회를 많이 주면 어떨까하는 생각이다. 또 이론을 공식으로 외우는 것을 지양하고, 오히려 주어진 이론이 성립하지 않는 경우를 많이 생각해보는 방법도 좋아 보인다. 반례를 통해 이론을 익히는 방법은 예와 증명을 통해 익히는 것 이상으로 중요한 방법이라고 할 수 있다.

==== 무엇을 하지 말 것인가? ====

가르칠 때 무엇을 하라고 격려하는 것이 중요하고, 무엇을 하지 말라고 하는 것을 나쁘다고 듣고 있다. 그런데 여기서는 하지 않았으면 하는 것에 대하여 말하지 않을 수 없다. 한 나라에서 수학(기초과학)을 발전시키는 것은 긴 시간을 필요로 한다. 수학이란 학문은 발전에 들인 노력에 대한 효과도 서서히 나타나는 학문이다. 이런 학문이 자라는데 가장 장애가 되는 것은 중도에 환경을 바꾸는 것이다. 특히 하지 않아야 할 것이 정책을 바꾸는 것이다. 물론 부분적으로는 더 나은 방법을 찾고 꾸준히 변화해 나가지 않으면 안된다. 그러나 커다란 정책의 기조는 변함이 없어야만 한다. 정책이 조금 못해도 꾸준히만 하면 그 효과는 충분할 것이다. 실제로 선진국들은 여러 가지 서로 다른 정책과 제도하에서도 훌륭히 발전하고 있는 것이다. 사실 이러한 것은 입학 시험과 관련된 문제에서도 볼 수 있다. 완벽한 입학시험 정책은 있을 수 없다. 중요한 것은 어떤 정책을 세우더라도 기본 골격이 변하지 않는 것이다. 자주 바꾸는 것은 그에 따라 변화하는 일선의 교육 방침이 뿌리를 내릴 틈이 없다는 점에서 최악이다.

또 하나는 다양성을 죽이지 말아야 한다는 것이다. 학교 현장에서 학생 개개인에 따른 학습내용과 시간의 다양성이나, 학교들 사이의 교육 방침과 내용의 다양성이나, 또는 여러 정책과 계획에서의 다양성 등을 될 수 있는 대로 살리는 것이 결정적인 것이다. 다양성이 없는 것은 발전할 수 없다. 변화의 여지가 없으면 죽은 것이기 때문이다. 어떤 분야나, 어떤 대학에 투자를 집중할 수도 있을 것이다. 그러나 그 것이 그 밖의 분야나 대학의 발전을 저해하는 정도가 되면 얻는 것 보다 잃는 것이 더 많게 된다. 다양성으로부터 생기는 경쟁과 역동적 변화를 차단하기 때문이다. 마찬가지로 학교 밖에서 공부하는 것을 막지는 말아야한다. 특히 과외 학습의 경우이다. 오늘날 보는 과외와 학원은 결코 바람직한 모습이 아니며, 또 과열 과외는 사회적으로도 정말 큰 문제이지만, 이 문제는 어렵더라도 새로운 쪽으로 더 나은 방법을 모색하여야한다. 하기 편하다고 해서 공부에 관한 다른 길을 전부 막는 것은 원칙적으로 또 하나의 다양성을 잃는 길일뿐이기 때문이다.

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1999년에 바라보는 우리의 교육문제는 암울하게 보이는 한편 희망이 느껴지기도 하는 매우 복잡한 모습을 하고 있다. 이에는 많은 요인들이 꼬리를 물고 있으며, 이들은 서로를 물고 돌고 돌아 결국은 어느 한가지도 꼬집어 말할 수 없게 하고 있다. 굳이 든다면 20세기 말에 들어 급격히 가속화된 변화의 물결을 따라잡지 못하는 우리 전부의 무능력정도이다. 그렇다면 결국 사람이 할 수 있는 최선은 하려는 일의 자연스러움이 자연스러울 수 있도록 보살피고 돕는 것뿐이 아닐까? 과욕은 항상 부작용을 낳는다. 마찬가지로 이 어려운 상황에서 우리가 하여야 할 것도 사람들이 바른 인식을 갖도록 노력하는 것이 최우선이라고 생각된다.

텐서란 앞에서 말했던 것 처럼 이미 가지고 있는 개념을 수치적으로 표현할 때 꼭 겪는 복잡함을 이해하고 이에 대하여 말하는 방법입니다. 수학에서는 단계적으로 다음과 같이 풀어져 있습니다.
그 이야기 전에 우선 다변수 미적분학(적어도 2변수)과 선형대수(적어도 행렬과 행렬식)의 이야기를 들어보았어야 합니다.(사실 들어보는 정도로는 안됩니다.) 리만기하학을 배우려는 분이면 당연히 아시겠지요.(적어도 안다고 생각하시겠지요.)

우선 대수적인 텐서는 벡터공간 V 하나안에서의 이야기입니다. 이 때 텐서는 V 위에서의 벡터들의 곱의 일종을 말합니다. 이 곱은 보통 알고 있는 곱들을 포함하는, 더 일반화된 개념으로서 우리가 보통 곱셈이 갖고있다고 생각하는 최소한의 조건만을 가지는, 가장 일반화된 곱셈입니다. (이에 대한 정의는 대수학등의 책을 보시기 바랍니다.) 따라서 우리가 생각하는 모든 곱셈들은 이 곱셈의 하나가 됩니다. 우리가 이미 잘 쓰고 있는 예를 하나만 들죠.(잘 아는 것은 사실 이것 하나 밖에 없습니다.)

V = R^2 에 좌표 x, y를 주고 보면 V^*(dual space)는 x, y로 생성되지요. 이 때, V 위에서 정의된 다항식들은 x와 y의 곱들로 나타내어집니다. 이 들은 다음과 같이 나누어 생각할 수 있습니다.

x, y의 0차식, x, y의 1차식, x, y의 2차식, ......

이 각각은 x 와 y를 각각 0번, 1번, 2번, ... 씩 곱해서 얻어지는 것들의 일차결합을 모두 모은 것입니다.

이들이 V^*의 모든 텐서곱을 다 나타내지는 못합니다. 다항식들은 특별한 조건

xy = yx, x y^2 = yxy = y^2 x, ...

을 만족하고 있으므로 가장 일반적인 곱셈이라고 할 수는 없습니다. 다항식은 소위 대칭인 곱셈(symmetric tensor product)을 모두 만드는 것 같군요.(사실인지 한번 생각해봐야겠군요^^)

일반적인 곱셈을 @ 로 나타내기로 하면,

x @ y \not= y @ x

일 뿐만 아니라 양변이 서로 아무 관계도 없어야 합니다. 즉

x @ y = - y @ x

같은 조건도 없다는 것이지요. 이러한 일반적인 곱셈을 통해서 곱하고 일차 결합을 만들고 하는데, 단 하나, 텐서 곱셈이 되려면 다음 성질 둘(셋?)은 만족해야 하지요 (결국 대수학 책을 쓰는군^^)

(x + y) @ z = x @ z + y @ z,
x @ (y + z) = x @ y + x @ z,
x @ (ty) = t (x @ y) = (tx) @ y (t는 스칼라 체의 원소)

그러한 곱셈을 만들어 쓰는데 익숙해지면, 해석(기하)학으로 들어가게 되는데요, 앞의 글 `텐서(1)'에서 이야기한 것입니다. 즉

(1) 한 점 p에서의 방향벡터 전부를 V_p라 할 때 V_p의 텐서곱들을 p를 변화시키면서 함수로 보는 것,

(2) 이 것들이 p에 대하여 연속함수, 미분가능한 함수라는 개념들을 정의하고,

(3) 이 개념들이 서로 smooth한 관계인 두 좌표(예를 들면, 원점 밖에서 직교좌표와 극좌표)에서 볼 때 마찬가지 개념이라는 것: 직교좌표로 써서 미분가능한 텐서는 극좌표로 써도 미분가능하고, vice versa.

(4) 이러한 두 좌표계 사이에서 같은 텐서를 표현하는 방법은 항상 두 좌표계를 변환하는 변환식의 Jacobian matrix로 변환된다는 것.

등을 확인하고 스스로 항상 계산해낼 수 있게 되면 1차적으로 텐서 개념에대한 대부분의 이해가 되었다고 할 수 있죠.

이 것을 써서 리만기하학을 하게 되면, 기하학에서 어떤 텐서가 중요한 것인가 하는 문제의 답을 구하고, 이들 사이에 어떤 관계가 있으며 - 어떤 것을 미분하여 어떤 것을 얻고, 어떤 것을 적분하여 어떤 것을 얻는가, 어떤 놈을 어떤 놈과 내적하면 어떤 놈이 얻어지는가 등등... 소위 텐서들의 공식 - 이 각 텐서들의 기하학적 의미는 무엇인가 하는 문제에 답을 찾는 것이 리만기하학을 공부하는 목표라고 할 수 있습니다. 기하학에서는 대부분의 중요한 텐서적 개념을 곡률이라고 부르려는 경향이 있습니다.(물리학도 마찬가지인데, 텐서 가운데 질량, 스트레스 텐서, 운동량, 등등 모든 개념이 있습니다) 그 과정에서 Gauss-Bonnet의 정리와 같은 위상수학에 걸친 이야기를 할 수도 있지요. (즉 오일러지표라고 하는 숫자는 어떠한 텐서의 적분으로 나타낼 수 있다는 등등...)

지금 드린 이야기는 단지 뜬구름 잡는 이야기일 뿐이지만 이를 가이드 삼아서 초보 텐서론부터 차근차근 공부하시면 쉽게 이해할 수 있을 것입니다.(믿거나 말거나?) 하지만 혼자서 끙끙대기보다는 잘하는 분들께 물어보기 바랍니다. 누구나 열심히 가르쳐 주겠지만, 그리고 모든 설명이 다 정말 도움이 되지만, 진짜 잘하는 분들의 설명이 필수적입니다.

책을 한 두개 소개하면,

M. Spivak의 Calculus on Manifolds : 이 책을 통해서 텐서를 이해하면 쉬울 것입니다. 하지만 문제를 거의 다 풀어봐야만 합니다.

Sokolnikoff의 Tensor Analysis(제목도 가물가물) : 혹시 위의 현대적 표기법이 마음에 안든다면 이러한 고전적 표기법과 물리학적 이야기도 괜찮을 겁니다. 위의 책보다 훨 길어요. 고전적 물리학 책(20세기 초반의 어려운 물리학책들: 예를 들어 Eddington의 Relativity Theory(?) 같은 책) 모두 다 텐서를 열심히 설명하고 있어요.

김강태의 미분기하학 : 기하학란과 책 소개란에 소개했지만, 미분기하학(리만기하학)의 입문서로 아주 좋은 책입니다. 단지 이 책만 읽고 리만기하학 다 안다고 하면 (라마뉴잔 같이 쬐끔만 보고도 모든 것을 다 꿰뚫을 사람이 없지는 않겠지만) 아마 안되겠지요. (저자가 그러면 안된다고 했으므로)

P. Petersen, Riemannian Geometry : 최근에 나온 기하학 책인데 쉽게 어려운 이야기 까지 잘 설명한 또하나의 책입니다. 방대한 이야기를 다 한 책. 분량은 400쪽 남짓.

하이텔의 글입니다.
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같이 풀어 봅시다 란에 텐서에 대한 이야기가 나왔다.
텐서?

텐서가 무엇이길래 (나를 포함해서) 이토록 많은 사람들에게 고통을 주는 것인가?......???

여러분이 말하는 텐서는 내가 보는 바로는 허깨비일 뿐이다.

라고 한다면 무슨 헛소리인가 하겠지만, 글쎄, 그럴듯 하다고 할수도 있겠다. 텐서를 한마디에 또는 한번 이야기에 설명하는 것은 불가능하다. 무엇보다도 그 많은 복잡한 공식과 계산들은 당연히 책을 보고 배워서 외워야 할것이다. 문제는 텐서를 보면서 무슨 생각을 하여야 하는가이다. 이를 잘 이해하려면 정말 쉬운 경우를 예로 들지 않으면 안된다.
그러나 설명을 해 보기 전에, 여러분은 물론 선형대수를 공부했기에 텐서를 알려고 하고 있을 것이다. 그러나 여러분은 선형대수가 '뭐하는' 것인지를 알고 있는가? 글쎄요라는 대답이 나온다면 텐서를 이해할수 없는 것은 당연하다.

세상에서 가장 쉬운 예:

한 직선의 점들에다 또 다른 한 직선의 점들을 대응시키는 함수를 생각하자. 이것은 여러분이 국민학교에서 부터 지금까지 수학에서 거의 매일 다루고 있는 대상이며 사실 이것 밖에는 배운것이 없을 것이다. 이것을 보면 여러분은 우선 y = f(x) 하고 쓸것이다. 이것은 틀린것이 아니다. 그러나 여러분은 분명히 x 나 y 가 수(number 즉 실수)라고 생각할 것이다. 여기는 문제가 있다. 직선 위의 점들은 수가 아니다. 여러분이 수라고 생각한다면 그것은 직선위의 점들을 항상 수와 대응시켜서(수를 이름으로 써서) 불렀기 때문일 것이다.

직선위의 점들은 항상 정해진 이름(= 대응되는 수)이 있는가? 이런 생각을 해보면 금방 알수가 있다. 직선에 우리가 단위길이를 주고 눈금을 끊어나가기 전에는 '아니올시다' 이다. 이것도 직선 위에서 길이를 잴수 있을때라야 된다. 따라서 x, y 에 숫자를 넣어 생각하는 것은 우리 직선들에 수를 찍어서 소위 '수직선'을 만든 후의 이야기이다. 수직선을 만드는 방법은 여러가지가 있으니까 한가지 함수 y = f(x) 라도 수직선을 다르게 만들면 f(x) 의 공식은 달라지게 마련이다. 진짜 예를 들자.

y = x 라는 함수가 있었다. (이미 수직선이다) 그런데 어떤 사람이 x-축에서 단위길이를 원래길이의 두배로 잡았다. 즉 이전의 2 자리가 이제는 1 이 되고 말았다. 그랬더니 함수는 y = 2x 가 된다. 함수가 변했는가? (이 물음은 두 직선 사이의 대응 관계가 변했느냐는 뜻이다.) 물론 변하지 않았고 단지 x-축 위의 점들의 이름만이 바뀌었을 뿐이다.

이렇게 함수의 영역에 숫자로 이름을 주는 것을 '좌표'를 준다고 하고 '좌표계'가 주어졌다고 한다. 한 함수라도 x 나 y 의 좌표계가 바뀌면 숫자로 나타내는 식은 달라진다.

이 긴 이야기의 핵심은?

1. 우리는 숫자를 써서 나타내는 것만을 계산할수 있다는 것이다. 그러나 이것은 이름을 어떻게 주느냐에 따라 변한다.

2. 그러나 이렇게 숫자를 써서 말하고자 하는 것은 좌표를 바꿔도 변하지 않는 함수에 대한 이야기이다.

비극이 아닐수 없다. 그러나 딴 방법은 없다.

일차함수만 생각하자. (이것이 '선형대수'이다)
좌표를 정하고 f 라는 함수를 표시하니 f(x) = x 였다. 이 함수는 기울기 1 만 알면 되는 함수이다. 그런데 아까 처럼 좌표를 바꾸니까 기울기가 2 가 되고 말았다. 그럼 기울기가 무슨 소용인가? 좌표만 바꾸면 무슨 기울기도 다 나올텐데...(0 만 빼고)

따라서 우리가 말하고 싶은 '변화율'은 이렇게 이야기 한다. 이런 좌표에서는 기울기가 1 이다. 하지만 x-좌표를 (0 이 아닌) a 배로 늘리면 기울기는 a 배가 되고 y-좌표를 그렇게 하면 기울기는 1/a배가 된다.
여기서 몇배 하는 부분의 설명은 언제나 그렇다는 것을 알수 있을 것이다. "따라서 한번 이야기 하면 다시 할 필요가 없겠으므로 다 안다면 다시 이야기 하지 않는다"는 것이 선형대수의 밑(basis)의 변환에 대한 정리이다.

즉 선형변환(Linear Transformation = 변수도 벡더이고 값도 벡터인 일차함수) 은 좌표를 이러이러하게 잡을때 (즉 basis 를 이렇게 잡을 때)

Y = [A] X

로 표시 된다면 좌표(basis)를 이러이러하게(= [P], [Q]를 써서) 바꾸면 새 좌표에서는

Y = [Q][A][P 의 역행렬] X

꼴로 표시된다는 정리이다.(여기서 X, Y 는 벡터, [A]등은 행렬이다.)

[[중요!!!]]

따라서 행렬을 하나 보면 그 행렬을 곱해서 함수(선형변환)가 나온다는 생각 뿐이 아니라 이때 basis 를 바꾸면 그 행렬이 어떻게 변할지도 항상 생각하고 있어야(최소한 생각해 낼수 있어야) 한다. 그래야 그 함수를 진짜로 (어떤 경우에도 쓸수 있게) 알고 있는 것이다.

[[[끝말]]]

자 이제부터 간단히 '텐서는 뭔가?' 이야기 하자.

수학이나 물리학에서 나오는 많은 양(quantity)들은 위의 함수와 같은 존재이다 X(i) 들이 벡터일때 (f 는 일차인 경우만 생각하자, 아니면 '한 점에서' 미분을 해서 일차도함수인 전미분(differential = Jacobian)을 생각한다)

Y = f( X(1), ... , X(n) )

꼴이다. 이걸 좌표를 써서 나타내면 행렬 같지만 독립변수가 n 개의 벡터이므로 첨수(index)가 n+1 개나 필요하다. (선형대수에서는 독립변수가 한개, 첨수가 2개이다) 즉

               [A] = A
                      i,j,k,...

좌표도 일차식으로만 바뀌란 법이 없다. 그러나 한 점에서 벡터만을 다루므로 좌표 변환의 그점에서의 Jacobi 행렬만 쓰면 된다. 그러면 다음과 같다. f 가 좌표(x, y) 에 따라 [A], [B]등으로 나타날때,

                                                    
               dy   dy
                 p    q
       A    =  ---  ---  B
        i,j    dx   dx    p,q
                 i    j

특히 물리학의 양들을 나타낼때 자연에서 주어지는 좌표란 것이 없으므로 인위적인 좌표(km, sec, gram,...)에 대해서 계산한다. 그러면 위의 f 는 [A]같이 나타나겠지만 그 숫자가 그리 중요하지 않다. (위에서 기울기가 별로 중요하지 않듯이...) 문제는 그 숫자가 여러가지 좌표계에서 어떻게 바뀌어 나타나는가 이다. 그리고 그 바뀌는 숫자들이 어떤 특성의 양(quantity)을 나타내는가 이다.

CARTAN

선생님의 의견을 잘 읽어 보았습니다. 약간 혼란스러운 점이 있지만 대체적으로 선생님의 의견에 공감하는 바입니다. 단지 아래 오뎅/조개님의 말씀과 같이 어려운 부분이 있는 점에 또한 동의하며 몇 가지 말씀을 덧붙입니다.

우선 오뎅님의 말씀과 중복되지만 다시 한번 짚고 싶은 것은 현행 교육과정의 교과서 분량은 이러한 역사적 사실을 동기로 삼는 설명을 하기에는 턱없이 부족합니다. 7차 교육과정에서 교과서 분량의 상한선을 많이 높였지만(아마 약 1배 반 정도가 아니었나요?) 이정도로는 이러한 설명을 넣을 수가 없습니다. 물론 라디안의 설명만을 넣는다면 몇 쪽 더 쓰면 되겠지만 그러면 다른 모든 부분과의 형평이 깨어지고, 모든 단원의 개념을 이런식으로 설명한다면 간단히 현 교과서 분량의 10배가 되어도 모자랄 것입니다. 어쩌면 수학사교과서 같이 되어버리고 말지도 모르지요.

우선 라디안은 실수고 60분법의 도는 실수가 아니라는 말은 엄밀히는 틀리는 것이 확실하지요. 그러나 각의 크기를 따질 때는 '도'나 '라디안' 모두 하나의 단위가 됩니다. 물론 모두 다 실수를 쓰고 있고요. 이는 길이를 재는데 m, cm, ft 등의 여러 가지 단위가 쓰이는 것과 유사합니다.

이제 조금 조심하여 구별할 것은 '삼각비'와 '삼각함수' 입니다. 이 두 개는 동기 유발의 관점에서 연계하여 설명하는 것이 일반적입니다. 그러나 이 두 개는 전혀 관계가 없는 것이라고 할 수도 있습니다. 삼각비는 구체적인 도형과 각의 크기 등에 관련된 개념이고요. 삼각함수는 이로부터 한 단계 추상화되어 나타난 함수니까요. 이제 삼각비에서는 단위로 '도'를 쓰거나 '라디안'을 쓰거나 큰 문제가 되지는 않습니다. 그러나 삼각함수를 쓸 때는 변수를 라디안으로 할 때의 삼각비의 값을 함수값으로 정의하는 것이 다른 어떤 경우에 비하여 매우 간단합니다. 따라서 삼각함수는 라디안을 변수로 할 때의 삼각비의 값을 씁니다. 이제 예를 들면 함수 sin 은 실수집합 R 에서 R 로 정의된 함수이니까 (그리고 일반적으로 함수의 정의역, 치역의 수는 단위를 생각하지 않으니까) sin 함수의 변수(예전 각의 부분)는 단순한 실수일 수 밖에 없고, 또, 라디안을 쓸 때의 각의 삼각비와 같다고 할 수 있는 것입니다.

이러한 부분을 이해하신다면 왜 라디안을 소개하는지, 왜 라디안이 실수라고 하는 말이 정확히는 틀린 말이면서도, 라디안 부분을 실수로 바꿔서 삼각함수를 만드는 것이 옳은 것인지를 이해하실 수 있을 것입니다.

만일 우리가 수학의 내용만을 고집한다면 초등학교에서부터 라디안으로 시작하는 것이 옳습니다. 그러나 그렇게 하면 상당히 많은 부분이 너무 어려워질 것입니다. 반면에 '도'를 고집한다면 삼각함수를 다루는 것이 매우 복잡해질 것입니다. 따라서 처음에는 '도'를 사용하다가 어딘가에서 '라디안'을 도입해야 하는 것은 분명하며 이는 '오뎅'님의 견해가 맞습니다. 단지 점차로 현실문제의 주기적인 현상에 삼각함수의 응용이 늘어나는 지금이고 보면, 대다수의 사람들이 미적분의 방법을 모르는 것이 현실이더라도 21세기 초반의 우리 국민은 아마도 삼각함수를 구구단같이 사용할 수 있어야 될 것입니다. 이러한 점에서는 라디안의 도입은 될 수 있으면 앞당길 필요가 있다고도 생각합니다.(이는 무조건 교육과정을 높이자는 것은 아닙니다.)

오히려 현재의 교육과정에서 이러한 효과를 거둘 수 있는 것은 현장의 선생님들이 이러한 목표를 이해하고 이미 잘(?) 만들어져 있는 교육과정을 활용하는 것이라고 생각합니다.

예를 들면 중학교에서 원을 공부하면서 중심각은 '도'를 사용하지만 이로부터 부채꼴의 원호의 길이와 연계시키는 문제를 많이 다룹니다. 이것이 왜 많이 다루어지는가? 어쩌면 많은 사람들이 이 부분에서 문제로 내고 계산할 수 있는 것이 이것뿐이라서가 아닌가 하고 생각할 지도 모릅니다. 그러나 사실은 이것이 바로 다음 단계에 가서 라디안을 도입하기 위한 준비작업인 것입니다. 즉 중심각과 호의 길이를 자꾸 연계시켜 보면서 그 비례관계를 익히고 이것이 자연스럽게 된 다음에는 라디안으로의 전환이 한결 쉬울 것이기 때문입니다. 따라서 여기서 비례관계를 강조하고 반지름을 고정한(예를 들면 1로) 원의 원호의 길이를 알면 중심각을 알아낼 수 있다는 사실을 강조하면, 또, 나아가서 원호의 길이와 중심각 사이에는 1대1 대응이 있고 비례관계(1차함수)가 된다는 사실을 가르쳐주면 매우 훌륭하게 준비가 된 것일 것입니다. (물론 이것은 외우거나 말로 가르쳐 주는 것이 아니고요, 많은 활동과 암시를 통해서 이루어져야 할 것입니다. 암시라 함은 물론 잘 이해하고 있는 선생님의 태도, 나아가서 많은 상황에서 생각이 나아가는 방향을 보여줌으로써 교육되는 그런 부분이 되어야 하겠지요.)

한편 라디안을 도입하는 데 원주의 길이는 그 한 가지 방법에 불과합니다. 실제로 삼각함수와 쌍곡함수의 이론을 보다 보면 각의 크기는 원호의 길이보다는 부채꼴의 넓이와 더 관계가 깊다고 생각이 듭니다. 반지름 1인 원의 원주의 길이는 2pi 이며 이 원의 넓이는 pi 입니다. 이 원의 어떤 부채꼴의 중심각이 theta 이면 이 부채꼴의 넓이는 theta/2 입니다. 따라서 중심각의 크기는 부채꼴의 호의 길이로 잡을 수도 있지만 부채꼴의 넓이의 두 배로 잡을 수도 있습니다. 그러나 우리에게는 더욱 자연스럽다고 생각되는, 넓이의 두 배라는 각의 개념은, 처음 공부하는 학생들에게는 더욱 부자연스러워 보이고 혼란스러울 것입니다. 이러한 모든 설명은 가르치시는 선생님이 알아서 직접 학생들에게 해 주시기를 바라는 것이며 교과서에는 표현되지 못하는 부분입니다. (현장에서 대부분의 선생님들이 진도와 시간, 다른 많은 일에 바빠서 제대로 설명해주지 못하시는 것은 감안하지 않은 이야기입니다만...) 이러한 부분을 제대로 설명하는 것은 아마도 우리나라에서는 교과서 보다는 다른 보충교재가 담당할 일이라고 생각됩니다. 그리고 이러한 보충교재의 내용은 수학을 정말로 잘 설명해야 하므로 교과서보다 훨씬 쓰기 어려운 책이 될 것입니다. 이러한 작업에 시간을 할애할 선생님이 계시다면 우리나라 수학교육이 매우 발전할 것이라고 생각됩니다.

이러한 부분에서 선생님께서 지적하신 오개념 부분이 잘 설명될 것이라고 생각됩니다. y = x + sin x 와 같은 것은 원칙적으로는 이미 라디안이란 개념을 떠난 추상적인 삼각함수에 대한 것이므로 논외입니다. (물론 더 어려운 해석학의 분야에 가서 다시 원으로 돌아와 후리에변환등을 하게 되면 또 다시 각과의 관계가 불거집니다만...)

마지막으로 선생님이 지적하신, 각을 측도(measure)로 보는 Moise 교수의 책과 같은 것은 수학을 엄밀하게 기술함으로써 개념의 혼돈을 막은 좋은 방법입니다. 그리고 이러한 관점은 이전의 SMSG 에서 가장 강조되었던 점입니다. 이것이 모든 선생님의 생각의 바탕에 있어야 하는 것임에는 다시 강조할 필요가 없을 것입니다만 이 내용을 학생들에게 직접 문자 그대로 전달하는 것은 혼란만을 더 할 것이며 교육의 목표를 왜곡시킬 소지가 큽니다. 우리가 원하는 것은 이러한 기본 개념을 학생들이 자연스럽게 받아들이고 스스로의 생각을 통해서 측도의 개념까지 도달하도록 유도하는 것이며(물론 당장 도달하지 못해도 아무 상관이 없습니다) 내용의 주입을 통해서 아직 받아들일 수 없는 상황에서 말로만 기억하게 하는 것이 아닙니다. 말로만 기억하는 것은 그 어떤 상황과 비교하여도 최악이라고 밖에는 말할 수가 없습니다.(모르는 것이 훨씬 낫습니다.)

(참고: 마지막 부분의 단위 문제는 역시 곱셈의 경우와 덧셈의 경우는 서로 다릅니다. 물리학이나 공학에서 잘 쓰는 차원의 문제(단위의 문제)는 그 자체로도 한 권의 책으로 쓰여질만큼 중요한 개념이며 그 중심개념만 뽑는다면 대수학의 텐서곱의 이론이 될 것입니다. 그러나 서로 다른 단위를 갖는 두 수의 합은 서로 다른 집합의 두 원소에 대한 연산으로서 잘 정의하기가 힘든 개념이 됩니다.)