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수학사랑의 질문과 답변

> 그러니까 2x^2y와 3x^2y의 최소공배수가 6x^2y가 아닌 x^2y
> 라면요, 배수의 개념이... 그러니까 2x^2y에 정수배를 한것이
> 이것의 배수가 아니던가요...그치만 최소 공배수를 x^2y라고
> 하면... 에휴~~ 이게 왜 7차 교육과정에서는 바뀌었을까요?
> 6차때만 해두...
>

제가 설명드렸던 것은 다음과 같습니다.

(1) 다항식의 계수를 정수만을 쓰기로 정한다면 2x^2y와 3xy^3의 최소공배수는 6x^2y^3이라고 해야 합니다.

(2) 다항식의 계수를 유리수나 실수를 쓰기로 정한다면 2x^2y와 3xy^3의 최소공배수로는 x^2y^3이라고 해도 됩니다. 왜냐하면 (x^2y^3)/(3xy^3)=(1/3)x가 되어 잘 나누어 떨어지기 때문입니다. 이 때는 최소공배수가 cx^2y^3(c\neq0)와 같은 일반형을 갖는다고 할 수 있겠지요.

(1)의 경우에 다루는 다항식의 집합(환)을 대수학에서는 보통 Z[x]라고 부르고요, (2)의 경우의 것을 R[x]라고 부르지요. 중 고등학교에서는 이 가운데 어느것인지를 구체적으로 집어 이야기하지는 않지만 다항식을 공부할 때의 전후 문맥을 보면 계수를 실수로 이야기하고 있다는 것을 알 수 있지요. 따라서 우리가 이야기하는 다항식은 R[x]의 원소들이라고 보야야 하고 이 환 R[x]에서의 최소공배수는 위의 (2)와 같이 계산하여야 옳게 됩니다.

마지막으로 왜 (1)로 하면 안되는가 라고 묻는다면 그렇게 하면 안된다는 것은 없습니다. 당연히 Z[x]에서의 최소공배수와 R[x]에서의 최소공배수는 다를 수도 있으니까 어디서 하는 이야기인지를 명시해야 옳은 것이지요. 그러나 중고등학교에서 이런 이야기를 다 하는 것은 대부분의 학생들을 오히려 혼동되게 할 수 있을 것입니다.

또 한가지는 조만간에 다항식의 계산을 하면서 계수를 실수 또는 복소수로 다루는 계산을 가르치게 됩니다. 따라서 중간에 굳이 Z[x]에 머물렀다 R[x]로 가서 교과서 내용을 복잡하게 할 필요도 느끼지 않는 것이지요.

따라서 이러한 문제는 다음과 같이 보아야 할 것입니다.
중고등학교에서 단항식들 사이에 나누어 떨어지는 것은 단항식의 미지수의 차수와 관련된다는 사실을 이해시키고 싶은 것이 첫째 목표일 것입니다. 그 다음에 이 상황을 잘 보다 보면 자연수나 정수에서 약수를 이야기하는 것과 매우 유사하다는 것을 파악하면 좋을 것 같다는 생각이 들지요. 이러한 파악은 학생 스스로 발견할 수 있는 것이 좋지(유도는 하더라도), 절대로 주입식으로 공부할 성질의 것이 아니지요.
제 생각에는 아마 이 정도가 중 고등학교의 다항식 계산에서 수학교육이 (그리고 교육과정이) 바라는 것이리라고 생각합니다.