'수학'에 해당되는 글 68건

Hitel에 썼던 글입니다.
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함수라는 개념은 간단히 영역의 원소들에게 치역의 원소들을 대응시켜 주는 관계(규칙)이다. 이 관계는 어떤 때는 한마디 말로도 표현될수 있으며, 또 다른때는 일일이 대응관계를 나타내 주기 전에는 다른 방법을 찾기 어려울 때도 있다. 일반적으로 이 관계를 다음으로 나타낸다.

y = f(x)

이때 f(x) 는 3x+2 처럼 한마디로 써지기도 하지만 어떤때는 위에 이야기 한것처럼 몇마디로는 쓸수 없다.

그런데, 이런 함수관계는 어떤때는 수식(방정식)이라는 조건으로 정의되기도 한다. 즉

3x + 2y = 5 ------------ (1)

같은 식은 독립변수 x, y 로 이루어진 3x + 2y = f(x,y) 라는 이변수함수가 있을 때 특별히 이 함수값이 5 가 된다면 x 와 y 사이에 어떤 관계가 있나에 대한 대답으로써 함수

y = (1/2)(5 - 3x) ----------- (2)

를 정의한 것이 된다. 자 이때 정의된 함수는 마찬가지지만 (2) 처럼 (explicit 하게) 쓰면 양함수(explicit function)이라고 하고, (1) 처럼 함수를 정의하는줄은 알지만 explicit 하게 표현하는 수고를 하지 않으면 음함수(implicit function) 이라고 한다.

자 그럼 똑같은 함수인데 왜 굳이 음양을 나누는가? 여기서 식으로 주어진 관계

x^2 + y^2 - 4 = 0 ------------ (3)

을 보자. 이 때는 이미 잘 알다시피 함수가 단 하나 정의되지 않는다. (이유는 매 x 에 대해 위 관계를 만족하는 y가 어떤 때는 두개, 어떤 때는 하나가 있고, 어떤 때는 하나도 없기 때문이다. 하나도 없는 x 는 함수의 정의역에서 빼버리면 되지만 두개 이상 있으면 어느것을 선택하느냐 하는 문제에서 여러가지 함수가 나오기 때문이다.)
이 때, 어떤 함수가 (3) 에서 정의된 음함수라고 말하는 것은 이렇게 매 x 마다 (3) 을 만족하는 y 를 하나씩 뽑아서 만든 함수들 가운데 하나임을 말한다.
(참고로 그런 함수는 매우 많다. [-2, 2] 를 정의역으로 할 때,이 집합을 두부분으로 나누어 한부분에서는 매 x 마다 관계 (3) 을 만족하는 y 가운데서 양수를 잡고 다른 부분에서는 이런 y 가운데서 음수를 잡으면 여러가지라는 것을 알수 있다. 이중에서 연속함수가 되는것은 보통 문제풀때 쓰는 두가지 뿐이다.)

이것이 더 유용한 경우는

cos (xy) + log (x+y) = 5 ----------- (4)

와 같이 (나 같은 사람은) y 를 x 에 대하여 풀어낼수 없는 경우에는 위에서 같이 정의된 함수는 그냥 (4) 에 의하여 음함수로 정의된 함수라고 부르는수 밖에 더 있겠는가? (그러니 음함수나 양함수라고 부르는 것은 다른 종류인 두가지 함수가 아니요, 똑같은 함수되 나타내는 방법이 다름을 보이는 말이다.)

 수학사랑의 질문과 답변

아래 김종욱님이 설명하신 글에 조금만 덛붙입니다. 산술평균을 조금 들여다보면 이런 생각을 한 것 같다고 할 것입니다: 즉, 두 수 x, y를 더해서 x+y 를 구했는데 이것이 두 수 x, y를 사용한 것이 아니라 어떤 한 수 z를 두 번 사용한 것이라면 (다시 말하면 z+z 였다면) 이 z는 어떤 수일까 하는 질문의 답이 산술평균입니다. (이와는 전혀 다른 방법으로 설명하는 수도 있을지 모릅니다.)

1. 이제 덛셈이 아니라 곱셈에 대하여 같은 방법으로 생각하여 보면 기하평균이 나온다는 것을 알겁니다. 혹시 세 수에 대한 덛셈은 x+y+z=u+u+u인 u를 생각하면 세 수의 평균이 나오지요... 세 수에 대한 곱셈을 생각하면 xyz=u^3 에서 u=(xyz)^(1/3) 입니다.

2. 이제 기하평균을 다른 각도에서 봅시다. (ln = log 입니다)
양수 x, y가 주어지면 여기서 ln x, ln y를 계산해서 이것의 산술평균을 구한다고 보고 위와 같이 생각해보면 (ln x + ln y)/2 가 됩니다. 이것이 ln을 취하기 전의 어떤 수 z의 ln 값인가를 물어보면, 즉,

(ln x + ln y)/2 = ln z

를 풀어 z를 구해보면 x, y의 기하평균이 나옵니다.

그러면 x, y의 ln값 대신에 역수 1/x, 1/y를 취하여 보고 이와 같이 생각해 보면

(1/x + 1/y)/2 = 1/z

인 z를 구한 것이 조화평균이 되지요.

마지막으로 이러한 생각은 주어진 수를 변형하고 평균을 구한다음에 이 수를 역으로 변형한 것이라고 생각하면 됩니다. 변형하는 방법은 많으니까 (역 방향으로 변형할 수만 있으면 되니까... 즉, 변형이 1대1 대응이면 되니까) 여러 가지 평균을 생각해 볼 수 있을겁니다.

적분을 사용한 평균

( int_a^b f(x) dx )/ (b-a)

도 이러한 관점에서 이해할 수 있을지 생각해 보세요.

수학사랑의 라디안 논쟁이라는 글에 대한 답입니다.
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 수학사랑에 질문에 대한 답변

선생님의 의견을 잘 읽어 보았습니다. 약간 혼란스러운 점이 있지만 대체적으로 선생님의 의견에 공감하는 바입니다. 단지 아래 오뎅/조개님의 말씀과 같이 어려운 부분이 있는 점에 또한 동의하며 몇 가지 말씀을 덧붙입니다.

우선 오뎅님의 말씀과 중복되지만 다시 한번 짚고 싶은 것은 현행 교육과정의 교과서 분량은 이러한 역사적 사실을 동기로 삼는 설명을 하기에는 턱없이 부족합니다. 7차 교육과정에서 교과서 분량의 상한선을 많이 높였지만(아마 약 1배 반 정도가 아니었나요?) 이정도로는 이러한 설명을 넣을 수가 없습니다. 물론 라디안의 설명만을 넣는다면 몇 쪽 더 쓰면 되겠지만 그러면 다른 모든 부분과의 형평이 깨어지고, 모든 단원의 개념을 이런식으로 설명한다면 간단히 현 교과서 분량의 10배가 되어도 모자랄 것입니다. 어쩌면 수학사교과서 같이 되어버리고 말지도 모르지요.

우선 라디안은 실수고 60분법의 도는 실수가 아니라는 말은 엄밀히는 틀리는 것이 확실하지요. 그러나 각의 크기를 따질 때는 '도'나 '라디안' 모두 하나의 단위가 됩니다. 물론 모두 다 실수를 쓰고 있고요. 이는 길이를 재는데 m, cm, ft 등의 여러 가지 단위가 쓰이는 것과 유사합니다.

이제 조금 조심하여 구별할 것은 '삼각비'와 '삼각함수' 입니다. 이 두 개는 동기 유발의 관점에서 연계하여 설명하는 것이 일반적입니다. 그러나 이 두 개는 전혀 관계가 없는 것이라고 할 수도 있습니다. 삼각비는 구체적인 도형과 각의 크기 등에 관련된 개념이고요. 삼각함수는 이로부터 한 단계 추상화되어 나타난 함수니까요. 이제 삼각비에서는 단위로 '도'를 쓰거나 '라디안'을 쓰거나 큰 문제가 되지는 않습니다. 그러나 삼각함수를 쓸 때는 변수를 라디안으로 할 때의 삼각비의 값을 함수값으로 정의하는 것이 다른 어떤 경우에 비하여 매우 간단합니다. 따라서 삼각함수는 라디안을 변수로 할 때의 삼각비의 값을 씁니다. 이제 예를 들면 함수 sin 은 실수집합 R 에서 R 로 정의된 함수이니까 (그리고 일반적으로 함수의 정의역, 치역의 수는 단위를 생각하지 않으니까) sin 함수의 변수(예전 각의 부분)는 단순한 실수일 수 밖에 없고, 또, 라디안을 쓸 때의 각의 삼각비와 같다고 할 수 있는 것입니다.

이러한 부분을 이해하신다면 왜 라디안을 소개하는지, 왜 라디안이 실수라고 하는 말이 정확히는 틀린 말이면서도, 라디안 부분을 실수로 바꿔서 삼각함수를 만드는 것이 옳은 것인지를 이해하실 수 있을 것입니다.

만일 우리가 수학의 내용만을 고집한다면 초등학교에서부터 라디안으로 시작하는 것이 옳습니다. 그러나 그렇게 하면 상당히 많은 부분이 너무 어려워질 것입니다. 반면에 '도'를 고집한다면 삼각함수를 다루는 것이 매우 복잡해질 것입니다. 따라서 처음에는 '도'를 사용하다가 어딘가에서 '라디안'을 도입해야 하는 것은 분명하며 이는 '오뎅'님의 견해가 맞습니다. 단지 점차로 현실문제의 주기적인 현상에 삼각함수의 응용이 늘어나는 지금이고 보면, 대다수의 사람들이 미적분의 방법을 모르는 것이 현실이더라도 21세기 초반의 우리 국민은 아마도 삼각함수를 구구단같이 사용할 수 있어야 될 것입니다. 이러한 점에서는 라디안의 도입은 될 수 있으면 앞당길 필요가 있다고도 생각합니다.(이는 무조건 교육과정을 높이자는 것은 아닙니다.)

오히려 현재의 교육과정에서 이러한 효과를 거둘 수 있는 것은 현장의 선생님들이 이러한 목표를 이해하고 이미 잘(?) 만들어져 있는 교육과정을 활용하는 것이라고 생각합니다.

예를 들면 중학교에서 원을 공부하면서 중심각은 '도'를 사용하지만 이로부터 부채꼴의 원호의 길이와 연계시키는 문제를 많이 다룹니다. 이것이 왜 많이 다루어지는가? 어쩌면 많은 사람들이 이 부분에서 문제로 내고 계산할 수 있는 것이 이것뿐이라서가 아닌가 하고 생각할 지도 모릅니다. 그러나 사실은 이것이 바로 다음 단계에 가서 라디안을 도입하기 위한 준비작업인 것입니다. 즉 중심각과 호의 길이를 자꾸 연계시켜 보면서 그 비례관계를 익히고 이것이 자연스럽게 된 다음에는 라디안으로의 전환이 한결 쉬울 것이기 때문입니다. 따라서 여기서 비례관계를 강조하고 반지름을 고정한(예를 들면 1로) 원의 원호의 길이를 알면 중심각을 알아낼 수 있다는 사실을 강조하면, 또, 나아가서 원호의 길이와 중심각 사이에는 1대1 대응이 있고 비례관계(1차함수)가 된다는 사실을 가르쳐주면 매우 훌륭하게 준비가 된 것일 것입니다. (물론 이것은 외우거나 말로 가르쳐 주는 것이 아니고요, 많은 활동과 암시를 통해서 이루어져야 할 것입니다. 암시라 함은 물론 잘 이해하고 있는 선생님의 태도, 나아가서 많은 상황에서 생각이 나아가는 방향을 보여줌으로써 교육되는 그런 부분이 되어야 하겠지요.)

한편 라디안을 도입하는 데 원주의 길이는 그 한 가지 방법에 불과합니다. 실제로 삼각함수와 쌍곡함수의 이론을 보다 보면 각의 크기는 원호의 길이보다는 부채꼴의 넓이와 더 관계가 깊다고 생각이 듭니다. 반지름 1인 원의 원주의 길이는 2pi 이며 이 원의 넓이는 pi 입니다. 이 원의 어떤 부채꼴의 중심각이 theta 이면 이 부채꼴의 넓이는 theta/2 입니다. 따라서 중심각의 크기는 부채꼴의 호의 길이로 잡을 수도 있지만 부채꼴의 넓이의 두 배로 잡을 수도 있습니다. 그러나 우리에게는 더욱 자연스럽다고 생각되는, 넓이의 두 배라는 각의 개념은, 처음 공부하는 학생들에게는 더욱 부자연스러워 보이고 혼란스러울 것입니다. 이러한 모든 설명은 가르치시는 선생님이 알아서 직접 학생들에게 해 주시기를 바라는 것이며 교과서에는 표현되지 못하는 부분입니다. (현장에서 대부분의 선생님들이 진도와 시간, 다른 많은 일에 바빠서 제대로 설명해주지 못하시는 것은 감안하지 않은 이야기입니다만...) 이러한 부분을 제대로 설명하는 것은 아마도 우리나라에서는 교과서 보다는 다른 보충교재가 담당할 일이라고 생각됩니다. 그리고 이러한 보충교재의 내용은 수학을 정말로 잘 설명해야 하므로 교과서보다 훨씬 쓰기 어려운 책이 될 것입니다. 이러한 작업에 시간을 할애할 선생님이 계시다면 우리나라 수학교육이 매우 발전할 것이라고 생각됩니다.

이러한 부분에서 선생님께서 지적하신 오개념 부분이 잘 설명될 것이라고 생각됩니다. y = x + sin x 와 같은 것은 원칙적으로는 이미 라디안이란 개념을 떠난 추상적인 삼각함수에 대한 것이므로 논외입니다. (물론 더 어려운 해석학의 분야에 가서 다시 원으로 돌아와 후리에변환등을 하게 되면 또 다시 각과의 관계가 불거집니다만...)

마지막으로 선생님이 지적하신, 각을 측도(measure)로 보는 Moise 교수의 책과 같은 것은 수학을 엄밀하게 기술함으로써 개념의 혼돈을 막은 좋은 방법입니다. 그리고 이러한 관점은 이전의 SMSG 에서 가장 강조되었던 점입니다. 이것이 모든 선생님의 생각의 바탕에 있어야 하는 것임에는 다시 강조할 필요가 없을 것입니다만 이 내용을 학생들에게 직접 문자 그대로 전달하는 것은 혼란만을 더 할 것이며 교육의 목표를 왜곡시킬 소지가 큽니다. 우리가 원하는 것은 이러한 기본 개념을 학생들이 자연스럽게 받아들이고 스스로의 생각을 통해서 측도의 개념까지 도달하도록 유도하는 것이며(물론 당장 도달하지 못해도 아무 상관이 없습니다) 내용의 주입을 통해서 아직 받아들일 수 없는 상황에서 말로만 기억하게 하는 것이 아닙니다. 말로만 기억하는 것은 그 어떤 상황과 비교하여도 최악이라고 밖에는 말할 수가 없습니다.(모르는 것이 훨씬 낫습니다.)

(참고: 마지막 부분의 단위 문제는 역시 곱셈의 경우와 덧셈의 경우는 서로 다릅니다. 물리학이나 공학에서 잘 쓰는 차원의 문제(단위의 문제)는 그 자체로도 한 권의 책으로 쓰여질만큼 중요한 개념이며 그 중심개념만 뽑는다면 대수학의 텐서곱의 이론이 될 것입니다. 그러나 서로 다른 단위를 갖는 두 수의 합은 서로 다른 집합의 두 원소에 대한 연산으로서 잘 정의하기가 힘든 개념이 됩니다.)

이 글은 예전에 하이텔에 논쟁이 되었을 때 쓴 글 가운데서 발췌한 것입니다. 조금 자세한 것은 이곳에서 찾아보세요.

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문제는 중학교 수학에서 나오는 0.999... 라는 무한소수가 1과 같은가 정확히 같지는 않은가라는 논쟁에 있습니다. 이 논쟁은 이 표현의 뜻을 정확히 이해하지 못하는데서 나오는 것으로서 잘못된 수학교육이 야기하는 혼동의 대표적인 예의 하나입니다.
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그동안 계속된 논쟁의 일부를 읽어보고 이 글을 씁니다.

아래 두분의 논쟁을 보면 수학의 여러가지 면이 들어나고 있으며 또한 수학과 수학 밖의 학문과의 관계도 보입니다. 이러한 문제는 수학의 여러 측면을 혼동하기 때문에 생긴다고 봅니다.

이 문제는 우선 0.9999...라는 표현으로부터 나옵니다. 그러나 이러한 표현에 대하여 두분이 나누는 이야기는 서로 전혀 다른 대상과 방법에 대한 것으로 서로 이야기가 될 리가 없습니다. (아래에 설명할 것입니다.)

1. 이에 대하여 수학자들의 입장을 봅니다.

수학자들은 (저를 포함해서) 수(number)를 만들었다고 생각합니다. 집합이라는 매개체를 써서 자연수, 정수, 유리수, 실수,... 등의 과정을 통해서 인간이 서로 공통으로 인정하는 양(量)의 개념으로서 수를 정의합니다. 그 이후에 이러한 (이미 존재하는) 수를 쓰기 편한방법으로 나타내는 기호를 고안합니다. 이러한 과정은 초등학교에서부터 고등학교 내지는 대학교 교양과정까지 순차적으로 교과서에 나오지만, 엄밀하고 논리적인 수(數)의 정의는 유보하여 두는 편입니다.

2. 이러한 입장에서 우리 문제를 봅시다.

우리의 대상은 1 이라는 수입니다. 위와 같은 입장에서 보면 우리는 어떻게든 1 이라는 수를 정의하여 개념으로 갖고 있습니다. (이미 모든 실수를 알고 있다고 보며, 이러한 실수가 서로 같거나 다르다고 하는 것이 무슨 뜻인지도 이론적으로 알고있다고 가정합니다.) 이러한 추상적인 개념으로서의 숫자 1 은 다른 수들과의 관계(셈법)를 떠나서 자체만으로는 아무런 쓸모도 없습니다. 이러한 쓸모에 맞게 1 을 나타내는 여러가지 방법을 만들게 됩니다. 예를 들자면 정수들의 나눗셈에 맞게 1/1, 2/2, 3/3 (-4)/(-4)와 같은 여러가지 방법으로 1 을 나타냅니다. 그리고 그 밖의 다른 여러가지 쓸모에서 생긴 방법들 가운데 무한소수로 실수를 나타내는 방법도 들어 있다는 입장입니다. (이 때 무한소수는 그 자체가 실수라고 보기보다는 실수를 나타내는 한가지 방법에 불과합니다. 1 또한 이러한 방법 가운데 하나입니다.)

3. 그러면 무한소수는?

무한소수란 무한히 이어진 자연수의 열을 가지고 실수를 나타내는 방법입니다. 실수의 위치를 유한한 소수들을 길게 늘여나감으로써 이 수에 점점 가까이 가는 방법을 써서 나타내는 방법이므로, 이러한 방법으로써 나타내어지는 수는 바로 이 수열이 나타내고자 하는 수가 됩니다. 즉 0.1111...은 1/9이 나타내는 실수를 나타내기 위하여 쓰는 또 다른 방법이었기 때문에 0.1111... = 1/9 라는 것은 수학자의 입장에서는 같은 수를 나타내는 두가지 방법이"같은" 수를 나타낸다고 하는 당연한 말에 불과합니다. (특히 주의할 것은 우리가 1/9이라는 표기법을 먼저 배우고, 0.1111... 이라는 표기법을 나중에 배운다고 하여서 1/9가 진짜 실수고 0.1111...은 1/9와 비슷한 숫자가 된다거나 하는 것이 아니라, 이 두가지 표기법이 나타내는 실수는 이보다 먼저 있는 것이고 이를 나타내는 두가지 방법이 나중에 만들어진 것 뿐입니다.)

4. 이제 이타놀님의 관점에서 ... 1.
 
0.1111...이라는 숫자는 진행되는 상태변화를 나타내는 꼴이고, 1/9은 이 변화가 끝난 결과를 나타내는 꼴이므로 서로 다르다고 합시다. 이것도 일리가 있습니다. 이러한 입장을 견지한 것이 Leibniz였습니다. 그 당시에는 극한이라는 개념이 애매한 동안이어서 Leibniz는 이러한 방식으로 극한을 대신하여 실수보다 더 복잡한 수체계를 만들어내고 이렇게 1 과 0.9999... 사이의 차이와 같은 것을 단자(monad)라고 하여 미적분학의 이론을 개발하였습니다. 이렇게 하여서 안 될 것은 없읍니다만, 현대 수학은 실수만을 수로서 생각하고 Leibniz의 수 체계는 극한개념으로 바꾸어 쓰는 것이 여러가지 상황에서 훨씬 편하다는 것을 알게 되어 이를 실수라는 이름으로 약속하게 되었습니다. 그렇다고 이러한 Leibniz의 개념이 아주 없어진 것은 아니어서, 현재 미적분에서 나타나는 dx 와 같은 개념으로 살아 있으며 아직도 수학의 여러 분야에서 매우 중요하게 쓰이고 있습니다.

5. 이타놀님의 관점에서 ... 2.

한편 여기서 0.9999... 라는 것은 진행수이고 1을 보통 실수라고 보는 관점은 수학자들이 약속한 실수와 (또는 보통의 수와) 다른 어떤 수의 체계(=진행수 =(?) Leibniz의 수)를 생각하는 것이나 다름 없습니다. 이 경우는 다루는 수의 체계가 위풍..님(수학자들)과는 서로 다르고, 또 그 말이 의미하는 바가 서로 다르므로 서로 이야기하는 것 또한 의미가 없다고 할 수 있습니다.

6. 마침

아마도 이로써 0.999...=1 이라는 것이 어떤 뜻에서 "약속"인가가 밝혀질 것이라고 봅니다. 이와 갈은 이야기는 수학자의 관점에서만 타당한 것이며 관점을 바꾸면 다른 이야기가 됩니다. 하지만 이러한 부분은 수학 밖의 이야기가 되며 이는 철학에서 다루어져야 할 문제입니다. (여기서 수학자란 수학을 받아들이고 사용하는 사람을 모두 말합니다.) -------------------------------------

제 목 : 이타놀님의 결론  등록일 : 1998-06-28 20:28:48

그 사이에 이타놀님이 올리신 글을 보면 대체로 수학자의 입장을 이해하고 계신다고 봅니다. 다만 얼핏 보기에 이 문제의 발단이 되었음직한 점이 있어 덧붙입니다.

0.999...=1 에서 = 은 정확한 equal 개념이 아니라고 하신 점이 그 것입니다. 우선 = 은 정당하게 사용하는 것은 모두 정확한 equal 입니다. (수학자의 입장에서 말입니다...)

아마도 이타놀님은 좀 더 정확한 equal을 말씀하시려는 듯 합니다. 그러나 정말로 정확한 equal은 존재하지 않습니다. (예를 들면 심지어는 1=1 이라고 쓰더라도 왼쪽 1은 왼쪽 1이요 오른쪽 1은 오른쪽 1 이라 서로 다릅니다. 즉 쓴 위치가 다르고, 쓴 시간도 다르고, 언어학적 쓰임도 다릅니다.)

equal은 단지 상대적 개념으로, 서로 같다고 인정하는 개념으로서 존재합니다. 이를 어렵게 동치개념이라고 합니다.

이 밖에 일반적으로 이야기 하는 이 문제에 대한 증명은 옳지 않습니다. 단지 정확하게 실수가 무엇인지 모르는 초등학생에게 설명하려는 편법입니다. 이 문제는 증명이 필요하지 않은 정의요 약속이기 때문입니다.

제 목 : 0.999...가 아직도   등록일 : 1998-07-05 12:37:06

0.999...=1 이라는 중학교 교과서의 증명은 어떤 뜻인가?

우선 실수를 나타내는 방법으로서 0.999... 와 1 은 같은 실수를 나타냅니다.
둘 째, 중학교 수학책의 증명 (10을 곱하고 빼는 식)은 이 문제의 엄밀한 증명이 아닙니다. 왜냐하면 이 두 표현은 이미 같은 수를 나타내는 두가지 방법에 불과하니까요. (증명의 필요가 없습니다. 정의입니다.)

세 째, 그러나 이 사실을 알고 난 다음에 0.999... 가 나타내는 유리수를 분수꼴로 찾으려면 어떻게 하는가 하는 방법으로서 10배를 하여 계산하는 방법을 써 놓은 과정으로 보면 이는 훌륭한 증명입니다. (이렇게 찾은 것이 옳은 답임을 증명하는 증명입니다.)

즉 0.999... 가 원래 1 과 같은 수를 나타낸다는 것은 증명 불필요. (정의이므로 - 대학교 교과서에 나옵니다.) 그러나 0.999... 가 1 을 나타내는 것인지를 구체적으로 모르고 있을 때 이를 알아내는 방법을 기술한 증명(유도과정)은 필요. (중학교 교과서의 내용입니다.)

수학사랑의 질문과 답변

> 그러니까 2x^2y와 3x^2y의 최소공배수가 6x^2y가 아닌 x^2y
> 라면요, 배수의 개념이... 그러니까 2x^2y에 정수배를 한것이
> 이것의 배수가 아니던가요...그치만 최소 공배수를 x^2y라고
> 하면... 에휴~~ 이게 왜 7차 교육과정에서는 바뀌었을까요?
> 6차때만 해두...
>

제가 설명드렸던 것은 다음과 같습니다.

(1) 다항식의 계수를 정수만을 쓰기로 정한다면 2x^2y와 3xy^3의 최소공배수는 6x^2y^3이라고 해야 합니다.

(2) 다항식의 계수를 유리수나 실수를 쓰기로 정한다면 2x^2y와 3xy^3의 최소공배수로는 x^2y^3이라고 해도 됩니다. 왜냐하면 (x^2y^3)/(3xy^3)=(1/3)x가 되어 잘 나누어 떨어지기 때문입니다. 이 때는 최소공배수가 cx^2y^3(c\neq0)와 같은 일반형을 갖는다고 할 수 있겠지요.

(1)의 경우에 다루는 다항식의 집합(환)을 대수학에서는 보통 Z[x]라고 부르고요, (2)의 경우의 것을 R[x]라고 부르지요. 중 고등학교에서는 이 가운데 어느것인지를 구체적으로 집어 이야기하지는 않지만 다항식을 공부할 때의 전후 문맥을 보면 계수를 실수로 이야기하고 있다는 것을 알 수 있지요. 따라서 우리가 이야기하는 다항식은 R[x]의 원소들이라고 보야야 하고 이 환 R[x]에서의 최소공배수는 위의 (2)와 같이 계산하여야 옳게 됩니다.

마지막으로 왜 (1)로 하면 안되는가 라고 묻는다면 그렇게 하면 안된다는 것은 없습니다. 당연히 Z[x]에서의 최소공배수와 R[x]에서의 최소공배수는 다를 수도 있으니까 어디서 하는 이야기인지를 명시해야 옳은 것이지요. 그러나 중고등학교에서 이런 이야기를 다 하는 것은 대부분의 학생들을 오히려 혼동되게 할 수 있을 것입니다.

또 한가지는 조만간에 다항식의 계산을 하면서 계수를 실수 또는 복소수로 다루는 계산을 가르치게 됩니다. 따라서 중간에 굳이 Z[x]에 머물렀다 R[x]로 가서 교과서 내용을 복잡하게 할 필요도 느끼지 않는 것이지요.

따라서 이러한 문제는 다음과 같이 보아야 할 것입니다.
중고등학교에서 단항식들 사이에 나누어 떨어지는 것은 단항식의 미지수의 차수와 관련된다는 사실을 이해시키고 싶은 것이 첫째 목표일 것입니다. 그 다음에 이 상황을 잘 보다 보면 자연수나 정수에서 약수를 이야기하는 것과 매우 유사하다는 것을 파악하면 좋을 것 같다는 생각이 들지요. 이러한 파악은 학생 스스로 발견할 수 있는 것이 좋지(유도는 하더라도), 절대로 주입식으로 공부할 성질의 것이 아니지요.
제 생각에는 아마 이 정도가 중 고등학교의 다항식 계산에서 수학교육이 (그리고 교육과정이) 바라는 것이리라고 생각합니다.

수학을 가르치며 느끼는 몇가지를 말해보고자 합니다. 두서없는 말이 되겠지만 도움이 되었으면 합니다. 여기 말하는 것은 이미 모든 사람이 알고 있는 사실에 불과하면서도 또 확실히 느끼지 못한다고 보입니다. 여기서는 수학을 이야기 하지만 일반 학문에 모두 적용될 것입니다.

<< 수학을 공부하는 법 >>

보통은 고등학교에서 수학을 배우며 수학은 알려진 사실을 잘 기억하고 효율적으로 정리하여 문제에 적용하는 것으로 느낍니다. 이것은 틀리는 생각은 아니지만 생각해보아야 될 부분이 많이 있습니다. 특히 대학에서 공부를 하면서 이것으로는 힘들구나 하는 생각이 많이 들리라고 봅니다.

수학은 문제를 푸는 방법을 익히는 것임에 틀림이 없습니다. 그러나 사람들은 고교 시절의 방법에 너무 매달려 그릇된 방법을 쓰고 있습니다. 한가지만 생각해 보지요. 예를들어 고등학교에서 미적분을 배울때 문제의 유형에 따라 수많은 문제를 풀어보고, 유형을 정리하고, 그것도 모자라 이런말이 나오면 이런것을 생각해라 하고 공식같은 격언들을 외웁니다. 그러나 대학에 오면 그런 "친절한" 강의는 볼수가 없습니다.

왜일까요? 한가지 사실로 명백해집니다. 고교 미적분에서 우리가 배워서 쓰는 사실(정리)들은 불과 몇개 입니다. 그러나 대학에서는 (예를들어 선형대수에서) 나오는 정리의 수가 수십개에서 백여개에 이릅니다. 고교에서 1-2년간 몇개의 정리를 어떻게 쓰는가를 정말 잘 배운셈인데 정리가 몇십개내지 몇백개로 되면 어떻게 해야될까요? 이제는 모든 경우를 다 해보고 외운다는 것은 불가능합니다. 고등학교에서는 푸는 방법을 외우면 됐지만 이제는 푸는 방법을 이해하지 않으면 안됩니다. 물론 한가지를 이해하는데는 외우는 것보다 훨씬 많은 시간과 노력이 듭니다만 한가지라도 이해하면 그와 관련된 많은것은 같이 이해할수 있지요. 따라서 한두가지를 이해하는 것은 효율이 낮지만, 많아질수록 이해하는것이 효율이 높아진다는 것을 알수 있지요.

그러면 공부하는 방법도 바뀌어야 됩니다. (이것은 시작 부터 이렇게 하는 것이 옳지만 규격화된 대학입시에서 효율을 높이려면 바꾸기 쉽지 않습니다.) 강의를 그냥 들어서는 이해되지 않습니다. 이것은 외우는 방법일 뿐인데, (고등학교때에 비해) 너무 많은 분량이어서 외워서는 이해가 되지를 않지요. 그러면 이해한다는 것은 무엇인가? 여러분이 잘 이해하는 것(국민학교 산수 같은 것들)을 생각해보면 알수 있지만 어떤것을 잘 이해하면 그 사실을 기억하는 것 뿐만 아니라, 그 사실이 왜 성립하는가를 아는 것이지요. 이 말도 좀 애매 모호하지요. 어떤 사실이 왜 성립하는지를 이해하는 것은 그 사실이 어떤때 성립하지 "않는지"를 잘 아는 것이라 할수 있습니다. 예를 들어 자동차가 어떻게 움직이는지를 잘 아는 것은 왜 연료가 없으면 안움직이는가? 왜 윤활류를 안치면 고장이 잘 나는가? 등등 모든 예외를 알 때 입니다. 그냥 움직이는 원리를 아는 것은 시작일 뿐이라는 것을 알수 있지요.

따라서 이상적인 강의는 서로의 토론에서 나옵니다. 우선 문제가 주어지고 그것을 풀어나가던가, 어떤 사실에 대하여 생각해보는 것입니다. 그 다음에 제기되는 의문을 해결해나가면 그 문제나 사실을 정말로 잘 이해하게 됩니다. 이때 제기되는 문제는 바보같은 질문일수록 좋지요. 여러가지를 생각하게 해 주니까. 또 그러는 동안에 제대로 생각하는 방법도 배우고요. 사실 바보같은 질문일수록 대답이 쉽지 않다는 것을 잘 알겁니다. (그러나 지금 당장 강의실에서 그렇게 할수 없으리라는 것은 당연하지요.)

처음에는 쉽지 않을 것입니다. 문제가 있어도 자기 혼자는 거의 답을 알수가 없으니까요. 금방 포기하기가 쉽지만 많이 물어보고 또 물어보는 사람에게 아는 것을 열심히 가르쳐 주다 보면 금방 터득할수 있습니다. 수학이 어렵다고 생각하는 분이 많겠지만 순서대로 단계적으로 이해하면 수학보다 더 쉬운것은 없습니다. 이것은 여러분이 "아는" 수학을 잘 생각해 보면 정말 쉽다는 것에서 잘 알수 있습니다. 이해만 하면 어떤 수학이던 그렇게 쉬워집니다.

정말 두서없는 글이 되었군요. 여러분의 공부에 도움이 되기를 바라면서...