조건희 군이 메일로 보내느라 앞 뒤에 인사가 있는 것은 빼고 본문만 옮겨 놓습니다.
개인적으로 근래에 sub-riemannian geometry에서 미분기하의 문제들을 확률론으로 접근하는 게 명확히 보여서 참 매력적이라고 생각하고 보고 하나하나 관련된 도구들을 본격적으로 공부해나가기 시작한 단계입니다.
제 개인적으로는 확률론의 도구들이 기하학적인 대상들을 이해하는 요긴한 도구임을 알려주는 페이퍼 중 하나는 Atiyah-Singer theorem을 확률론으로 증명한 게 아닌가 싶습니다. [1]
제가 현재 이해하는 선에서는 sub-riemannian geometry는 미분다양체의 탄젠트-번들의 부분-번들(sub-bundle)에 대한 정보만 들고있는 경우, 부분-번들에 bracket-generating condition 등의 (Lie-bracket으로 tangent bundle을 복구할 수 있는 sub-bundle) 추가적인 적절한 조건들을 요구해서 미분다양체를 어떻게 이해할지에 대한 거라고 납득하고 있습니다. Contact manifold, symplectic manifold에서 자연스럽게 위의 sub-riemannian geometry에 해당하는 상황들이 있는것 같습니다. [3]
그리고 sub-riemmanian manifold에 대해서도 submersion, 혹은 foliation이 있는 경우로 한정지으면 fiber가 totally geodesic submanifold가 되는 동치조건을 부분-번들에 주어진 sub-laplacian으로부터 완전히 기술할 수 있음이 알려져 있습니다. (Theorem 2.9 [3]) 그래서 sub-laplacian를 다루기 위한 각 diffusion operator에 대한 이해를 필요로 하게 되고, diffusion operator와 관련지어서semi-group이나 heat kernel 등을 이해해나가는 과정에서 여러 stochastic process들과 연결고리가 생기는 것 같습니다.
특히 Heisenberg group에 대해 sub-riemannian manifold의 구체적인 예시로서 유용한 것 같습니다. [2], [3] Hisenberg group은 upper half plane의 고차원 일반화인 Siegel half plane을 complex manifold로서 볼 때 이에 대한 boundary에 해당하는 CR manifold입니다. [4] 그리고 하이젠베르그 군의 fractional sub-laplacian은 levy process의 infinitesimal generator가 되는 점과, Brownian motion이 Heisenberg group 위에서 어떻게 기술되는지도 구체적으로 확인할 수 있습니다. [5], [6]
그 외에 symmetric space의 위상적인 정보를 증명하기 위한 도구로도 확률론이 쓰이는 경우를 보았습니다. symmetric space의 brownion motion으로부터 기술되는 특정 stochastic process가 어떤 분포로 수렴하는지에 따라 compact와 non-compact를 구분할 수 있을 것이다는 명제를 뒷받침하는 예시까지 현재 알려져 있고 일반적인 명제에 대해서는 open problem으로 남아있는 것 같습니다. [7]
제 개인적으로는 기하학 공부를 위해서 확률론이 정말 중요한 도구가 아닌가 하는 생각을 지울 수가 없어서 새로운 한 해에 참 열심히 공부해보고 제가 있는 곳에서 sub-riemanian geometry 공부하시는 교수님들 곁에서 좋은 기회를 잡아서 한번 문제들도 해봐야겠다고 생각해보고 있습니다.
그로몹
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